成都石室中学2022-2023学年度高三下期高2023届三诊模拟考试文理 数学

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成都石室中学2022-2023学年度高三下期高2023届三诊模拟考试文理 数学试卷答案

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6．下面命题：
①幂函数图象不过第四象限；
②y=x⁰图象是一条直线；
③若函数y=2^x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
④若函数$y=\frac{1}{x}$的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是$\left\{{y\left|{y＜\frac{1}{2}}\right.}\right\}$；
⑤若函数y=x²的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}，
其中不正确命题的序号是②③④⑤．

分析根据函数为奇函数可得-f（-2m-2）=f（2m+2），利用单调性可得cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．利用换元法令t=sinθ∈[0，1]，真理为t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．对二次函数的对称轴分别讨论，求出区间内的最小值即可．

解答解：由条件可得：f（cos²θ+2msinθ）＜-f（-2m-2）
由于函数是定义在R上的单调递增奇函数，
∴cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
设t=sinθ∈[0，1]，
∴t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．
（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-$\frac{1}{2}$
（2）当0≤m≤1时，最小值为g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
综之：m＞-$\frac{1}{2}$，
故答案为m＞-$\frac{1}{2}$．

点评考查了奇函数的性质和应用，二次函数闭区间上最小值的求法．属于基础题型，应熟练掌握．

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