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LYGZ2022-2023学年度下学期高二第二次联考(232540D)文理 数学试卷答案
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18．已知$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β为锐角．
（1）求证：tanβ=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$；
（2）求tanβ的最大值．
分析（1）化简函数f（x），根据函数图象过点$（\frac{π}{8}，0）$，求出a的值，从而求出f（x）的单调减区间；
（2）根据函数y=f（x）的单调区间得出f（x）在$[{0，\;\;\frac{π}{2}}]$上先增后减，从而求出它的最值．
解答解：（1）函数f（x）=asinxcosx-cos2x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x，且图象过点$（\frac{π}{8}，0）$，
∴$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{4}$=0，解得a=2；
∴f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调减区间是[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，k∈Z；
（2）∵函数y=f（x）的单调减区间是[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z；
∴在$[{0，\;\;\frac{π}{2}}]$上有x∈[0，$\frac{3π}{8}$]时，f（x）单调递增，
x∈[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）单调递减；
∴f（x）的最大值是f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
最小值是f（0）=$\sqrt{2}$sin（0-$\frac{π}{4}$）=-1．
点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化法与数形结合思想的应用问题，是基础题目．
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