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2023年普通高等学校招生全国统一考试 23·JJ·YTCT 金卷·押题猜题(十二)文理 数学试卷答案
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6．已知函数f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx．
（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．
分析（1）根据已知，分当x≤20时和当x＞20时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案．
解答解：（1）由题意得：当x≤20时，y=（33x-x2）-x-100=-x2+32x-100；…（4分）
当x＞20时，y=260-100-x=160-x．…（6分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}-x2+32x-100，0＜x≤20\\160-x，x＞20.\end{array}$（x∈N*）．…（8分）
（2）当0＜x≤20时，y=-x2+32x-100=-（x-16）2+156，…（10分）
当x=16时，ymax=156．
而当x＞20时，160-x＜140，
故x=16时取得最大年利润156万元． …（12分）
点评本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，难度中档．
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