全国大联考2023届高三全国第七次联考7LK·新教材老高考文理 数学

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全国大联考2023届高三全国第七次联考7LK·新教材老高考文理 数学试卷答案

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4．已知$\overrightarrow m=（a，b）$，$\overrightarrow{n}$=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，满足f（$\frac{π}{3}$）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，求实数k的取值范围．

分析由抛物线和圆关于x轴对称，可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），运用两点的距离公式，可得b，再由圆的方程可得a，代入抛物线的方程，可得p，求得m，再由抛物线的定义，即可得到所求距离．

解答解：由抛物线和圆关于x轴对称，
可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），
由|AB|=2$\sqrt{3}$，可得2b=2$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{3}$，由a²+b²=4，可得a=1，
将（1，$\sqrt{3}$）代入抛物线的方程，可得3=2p，
解得p=$\frac{3}{2}$，
即有抛物线的方程为y²=3x，
准线方程为x=-$\frac{3}{4}$，
即点P（m，3$\sqrt{3}$）为（9，3$\sqrt{3}$），
P到F的距离为P到准线的距离，即有
9+$\frac{3}{4}$=$\frac{39}{4}$．
故选：D．

点评本题考查抛物线的定义和方程的运用，同时考查圆的方程的运用，注意运用对称性是解题的关键．

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