山东省烟台市龙口市2022-2023学年高二下学期3月月考文理 数学

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山东省烟台市龙口市2022-2023学年高二下学期3月月考文理 数学试卷答案

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15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析（1）运用单位“1”，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）•（4x+y），展开再用基本不等式；
（2）先用对数的运算性质化简，再运用基本不等式求最值．

解答解：（1）因为，4x+y=1且x＞0，y＞0，
所以，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）•（4x+y）
=5+（$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，
当且仅当：x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{1}{3}$，取“=”，
即，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小得为9；
（2）因为，4x+y=1且x＞0，y＞0，
所以，4x+y≥2$\sqrt{4x•y}$，解得xy≤$\frac{1}{16}$，
而log₂x+log₂y=log₂xy≤log₂$\frac{1}{16}$=-4，
即，log₂x+log₂y的最大值为-4．

点评本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及对数的运算性质和单位“1”的灵活运用，属于中档题．

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