衡水金卷先享题2023届信息卷 全国甲卷(一)文理 数学

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衡水金卷先享题2023届信息卷 全国甲卷(一)文理 数学试卷答案

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10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过F₁的直线l：x-y+2=0与y轴交于点M，满足|OM|=|OA|²（O为坐标原点）且，直线l与直线l′：x-y+m=0（m＜0）之间的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
（1）求椭圆C的方程：
（2）在直线l′上是否存在点P，满足|PF₁|=3|PF₂|？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

分析（1）设出一次订购的数量，写出批发价函数，令其等于100，求出订购数量即可；
（2）讨论订购量x的取值，求出对应的批发价函数f（x）的解析式，用分段函数表示出P=f（x）；
（3）根据函数f（x），写出利润函数y的解析式，求出对应的最大值即可．

解答解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），
则批发价为120-0.04n，
令120-0.04n=100，解得n=500；
所以当一次订购量为600个时，每件商品的实际批发价为100元；…（5分）
（2）当0≤x≤100时，f（x）=120，
当100＜x≤600时，f（x）=120-0.04（x-100）=124-0.04x，
所以函数P=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{120，0≤x≤100，x∈N}\\{124-0.04x，100＜x≤600，x∈N}\end{array}\right.$；…（10分）
（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，
根据题意知：当0≤x≤100时，y=40x，
在x=100时，y取得最大值为4000；  …（12分）
当100＜x≤500时，y=[40-0.04（x-100）]•x=-0.04x²+44x=-0.04（x-550）²+12100；
所以当x=500时，y取得最大值为12000；  …（15分）
答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）

点评本题考查了一次函数与二次函数模型的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题目．

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