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2023届天一大联考·高考全真模拟卷 老高考(3三)3数学试卷答案
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9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上存在一点 P满足$∠{A}{P}F=\frac{π}{2}$，F为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
| A． | $（{0，\frac{1}{2}}）$ | B． | $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$ | C． | $（{\frac{1}{2}，1}）$ | D． | $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$ |
分析充分利用已知的x+y=-1，将所求转化为积为定值的形式．
解答解：因为实数x，y满足x•y＞0，且x+y=-1，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=$\frac{-x-y}{x}-\frac{4（x+y）}{y}$=-5-（$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$）≤-5-4=-9；
当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$时等号成立，即x=$-\frac{1}{3}$，y=$-\frac{2}{3}$．
故答案为：-9．
点评本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；注意基本不等式的三个条件．
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