［开学考］九师联盟2023-2024学年高三教学质量检测（LG）文理 数学

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［开学考］九师联盟2023-2024学年高三教学质量检测（LG）文理 数学试卷答案

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7．求函数f（x）=2${\;}^{\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}}$的值域为（0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）．

分析由极坐标方程求出圆的普通方程为x²+y²-4x+4y+6=0，由此得到圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=-2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数，从而能求出x+y的最大值．

解答解：∵圆的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}$$ρcos（θ+\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4$\sqrt{2}$ρ（cosθcos$\frac{π}{4}$-sinθsin$\frac{π}{4}$）+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴x²+y²-4x+4y+6=0，
圆心（2，-2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16-24}$=$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=-2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数，
∴x+y=$\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ$=2sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴x+y的最大值为2．
故答案为：2．

点评本题考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要注意圆的极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，注意三角函数性质的合理运用．

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