更新时间通知！文理 数学

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更新时间通知！文理 数学试卷答案

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4．已知a为常数，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
①求实数a的取值范围；
②求证：x₁x₂＞1．

分析先判断函数f（x）是R上的单调递减函数，再运用定义进行证明，作差得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，即可下结论．

解答解：函数f（x）=-x³+1在R上为单调递减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+1）-（-x₂³+1）
=x₂³-x₁³
=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，
其中，x₂-x₁＞0，（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²＞0恒成立，
所以，f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
故f（x）为R上的单调递减函数，证毕．

点评本题主要考查了函数单调性的判断和证明，通过对差式进行合理的恒等变形是解题的关键，涉及到作差法和配方法，属于中档题．

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