安徽省涡阳县2022-2023学年度九年级第二次质量监测文理 数学

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安徽省涡阳县2022-2023学年度九年级第二次质量监测文理 数学试卷答案

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1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2（a_n-n），n∈N^+*．
（1）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和，求T_n．

分析把已知的数列递推式变形，然后利用累积法求解数列的通项公式．

解答解：由a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2×2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2×3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2×4}{3}$，
$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{2×5}{4}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n}{n-1}$（n≥2）．
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={n•2}^{n-1}$，
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立．
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$．
故答案为：n•2ⁿ．

点评本题考查数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，是中档题．

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