(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习8.6《立体几何中的向量方法》(含详解)

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1、 基础题组练 1.将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1旋转一周形成圆柱， 如图， AC长为23，A1B1长为3，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧则异面直线 B1C 与 AA1所成的角的大小为( ) A6 B4 C3 D2 解析：选 B以 O 为坐标原点建系如图， 则 A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B132，12，1 ，C32，12，0 . 所以AA1(0，0，1)，B1C(0，1，1)， 所以 cosAA1，B1CAA1B1C|AA1|B1C| 000(1)1(1)1 02(1)2(1)222， 所以AA1，B1C34， 所以异面直线 B1C 与 A。

2、A1所成的角为4.故选 B 2.如图，已知长方体 ABCD- A1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E 为线段 AB 上一点，且 AE13AB，则 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为( ) A3 3535 B2 77 C33 D24 解析：选 A如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则 C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以DC1(0，3，1)，D1E(1，1，1)，D1C(0，3，1) 设平面 D1EC 的法向量为 n(x，y，z)， 则n D1E0，n D1C0，即xyz0，。

3、3yz0，即x2y，z3y，取 y1，得 n(2，1，3) 因为 cosDC1，nDC1n|DC1|n| (0，3，1) (2，1，3)10 143 3535，所以 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为3 3535，故选 A 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_ 解析：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，则 A1(0，0，1)，E1，0，12，D(0，1，0)，所以A1D(0，1，1)，A1E1，0，12.设平面 A1ED 的法向量为 n1(1，y，z)，则A1D n1。

4、0，A1En10， 即yz0，112z0，所以y2，z2，所以 n1(1，2，2)又平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0，0，1)，所以 cosn1n223，故平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23. 答案：23 4.如图，正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G 分别为 AB，AA1，A1C1的中点，则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为_ 解析：设正三棱柱的棱长为 2，取 AC 的中点 D，连接 DG，DB，分别以 DA，DB，DG所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B1(0， 3，2)，F(1，0，。

5、1)，E12，32，0 ，G(0，0，2)， B1F(1， 3，1)，EF12，32，1 ，GF(1，0，1) 设平面 GEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则EF n0，GFn0，即12x32yz0，xz0， 取 x1，则 z1，y 3， 故 n(1， 3，1)为平面 GEF 的一个法向量， 所以|cosn，B1F|131|5 535， 所以 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为35. 答案：35 5.如图所示，菱形 ABCD 中，ABC60 ，AC 与 BD 相交于点 O，AE平面 ABCD，CFAE，ABAE2. (1)求证：BD平面 ACFE； (2)当直线 FO 与平面 BED。

6、 所成的角为 45 时，求异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值的大小 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 BDAC. 因为 AE平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 BDAE. 又因为 ACAEA，AC，AE平面 ACFE. 所以 BD平面 ACFE. (2)以 O 为原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点 O 且平行于 CF 的直线为 z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系， 则 B(0， 3，0)，D(0， 3，0)，E(1，0，2)，F(1，0，a)(a0)，OF(1，0，a) 设平面 EBD 的法向量为 n(x，y，z)， 则有n OB0，n OE0，即3y0，x2z0， 令 z1，则 n(2，0，1)， 由题意得 sin 45 |cosOF，n|OF n|OF|n| |2a|a21 522， 解得 a3 或 a13(舍去) 所以OF(1，0，3)，BE(1， 3，2)， cosOF，BE1610 854， 故异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值为54. 6(2020 湖北十堰 4 月调研)如图，在三棱锥 PABC 中，M 为 。

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