(新高考)高考数学二轮复习习题训练–专题突破练16《立体几何中的翻折问题及探索性问题》(含详解)

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1、专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2021山东聊城三模)如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BCCD,ADBD,沿BD将ABD折起,使点A到达点P的位置,且PCBC.(1)求证:PDCD;(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.2.(2021湖南师大附中二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=BC=1,PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC平面ABCD,E为线段PC上一点.(1)设平面PAB平面PDC=l,求证:l平面ABCD.(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60?若。

2、存在,求CECP的值;若不存在,请说明理由.3.(2021山东泰安三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,BC=22,BB1=2,M为CC1的中点.(1)试确定线段AB1上一点N,使AC平面BMN;(2)在(1)的条件下,若平面ABC平面BB1C1C,ABB1=60,求平面BMN与平面BB1C1C的夹角的余弦值.4.(2021福建泉州二模)如图,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,沿CD将ACD折起,使点A到达点P的位置,如图,PBD=60,E,F,H分别为PB,BC,PD的中点,G为CF的中点.图图(1)求证:GH平面DEF;(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦。

3、值.5.(2021天津二模)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD平面ABE,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=3,M为BE的中点.(1)求证:CM平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.(3)在线段AD上是否存在一点N,使直线MD与平面BEN所成角的正弦值为4621?若存在,求出AN的长;若不存在,说明理由.6.(2021湖南长沙长郡中学一模)如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DEBC,记DEBC=.将ADE沿DE翻折到MDE的位置,使得平面MDE平面DECB,连接MB,MC,如图所示,N为MC的中点.图图(1)当EN平面。

4、MBD时,求的值.(2)随着值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值.专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(1)证明: 因为BCCD,BCPC,PCCD=C,所以BC平面PCD.又PD平面PCD,所以BCPD.由翻折可知PDBD,BDBC=B,所以PD平面BCD.又CD平面BCD,所以PDCD.(2)解: 因为PCBC,CDBC,所以PCD为二面角P-BC-D的平面角,即PCD=60.在RtPCD中,PD=CDtan 60=3CD.取BD的中点O,连接OM,OC,则OMPD,OM=12PD.因为BC=CD,所以OCBD。

5、.由(1)知PD平面BCD,所以OM平面BCD,所以OM,OC,OD两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设OB=1,则P(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M0,0,62,CP=(-1,1,6),CD=(-1,1,0),CM=-1,0,62.设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),则nCD=0,nCM=0,即-x+y=0,-x+62z=0,令z=2,则x=3,y=3,所以n=(3,3,2)为平面MCD的一个法向量.设直线PC与平面MCD所成的角为,则sin =|cos|=|CPn|CP|n|=34,所以直线PC与平面MCD所成角的正弦值为34.2.(1)证明: ABCD,AB平面PDC,DC平面PDC,AB平面PDC.又平面PAB平面PDC=l,AB平面PAB,ABl.又l平面ABCD,AB平面AB。

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