贵州天之王教育2023届全国甲卷高端精品押题卷(四)文理 数学

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贵州天之王教育2023届全国甲卷高端精品押题卷(四)文理 数学试卷答案

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14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦点分别是F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF₂的周长为$4\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，且A，B两点都在y轴的右侧，设P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}（O$为坐标原点），求实数t的取值范围．

分析曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1+4t}\end{array}$化为普通方程为2x-y+1=0，圆ρ=2$\sqrt{2}$sinθ的直角坐标方程为x²+（y-$\sqrt{2}$）²=2，利用圆心到直线的距离d＜r，即可得出结论．

解答解：曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1+4t}\end{array}$化为普通方程为2x-y+1=0，圆ρ=2$\sqrt{2}$sinθ的直角坐标方程为x²+（y-$\sqrt{2}$）²=2，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-\sqrt{2}+1|}{\sqrt{4+1}}$$＜\sqrt{2}$，
∴直线与圆相交，
故选：C．

点评本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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