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2022~2023学年高二下学期期中联合考试(23-411B)文理 数学试卷答案
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3．已知圆C的圆心在坐标原点O，直线1的方程为x-y-2$\sqrt{2}$=0．
（1）若圆C与直线1相切．求圆C的标准方程；
（2）若圆C上恰有两个点到直线1的距离是1，求圆C的半径的取值范囤．
分析由题意和正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$=k，可得a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，代入余弦定理可得2abcodC=a2+b2-c2，由关于cosC的二次方程有唯一的解可得．
解答解：∵△ABC中sinA=m，sinB=n，
由正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$=k，
∴a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
再由余弦定理可得2abcodC=a2+b2-c2，
∴$\frac{2mn}{{k}^{2}}$cosC=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{si{n}^{2}C}{{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（1-co{s}^{2}C）}{{k}^{2}}$，
∴2mncosC=m2+n2-1+cos2C，即cos2C-2mncosC+（m2+n2-1）=0，
由cosC具有唯一确定的值可得△=4m2n2-4（m2+n2-1）=0，
整理可得（m2-1）（n2-1）=0，m、n不可能同时为1，
∴当m、n有且只有一个为1即该三角形为直角三角形时，cosC具有唯一确定的值．
故答案为：m、n有且只有一个为1
点评本题考查解三角形，涉及正余弦定理和一元二次方程根的存在性，属中档题．
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