2023年4月玉林市高三年级教学质量检测文理 数学

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2023年4月玉林市高三年级教学质量检测文理 数学试卷答案

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16．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0有解，求k的取值范围．

分析当x≥0时，f（x）=x²-4x+3，可求得其单调区间，当x＜0时，利用f（x）是偶函数，求得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，从而得其单调区间，综合可得答案．

解答解：∵当x≥0时，f（x）=x²-4x+3，
∴函数y=f（x）在[0，2]上是减函数，在[2，+∞）上为增函数，
当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
∴y=f（x）在[-2，0]上是增函数，在（-∞，-2]上为减函数，
故f（x）的单调递增区间是[-2，0]，[2，+∞）．
故答案为：[-2，0]，[2，+∞）．

点评本题考查奇偶性与单调性的综合，着重考查二次函数的图象性质，突出转化思想的考查，属于中档题．

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