2023届先知模拟卷(七)文理 数学

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试题答案

2023届先知模拟卷(七)文理 数学试卷答案

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12.已知复数z=2+i(i虚数单位),若$\frac{a}{z}+{z^2}∈R$,则实数a的值为(  )

A. 4 B. 10 C. 20 D. $-\frac{15}{2}$

分析(1)由sin2θ+cos2θ=1,能求出曲线C的普通方程,消去参数t,能求出直线l的普通方程.
(2)曲线C是以C(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆,先求出圆心C(2,0)到直线l的距离d,由|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$,能求出结果.

解答解:(1)∵曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$,
∴由sin2θ+cos2θ=1,能求出曲线C的普通方程为:(x-2)2+y2=1.
∵直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$(t为参数).
∴消去参数t,得直线l的普通方程为:2x+y-6=0.
(2)∵曲线C:(x-2)2+y2=1是以C(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆,
圆心C(2,0)到直线l:2x+y-6=0的距离d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
又直线1与曲线C交于P,Q两点,
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

点评本题考查曲线C,直线l的普通方程的求法,考查直线与圆相交弦弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意参数方程与普通方程互化公式、圆的性质的合理运用.

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