衡水金卷先享题信息卷2023答案 湖南版三文理 数学

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衡水金卷先享题信息卷2023答案 湖南版三文理 数学试卷答案

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7．已知椭圆C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，定点N（0，1），过圆M：x²+y²=$\frac{4}{5}$上任意一点作圆M的一条切线交椭圆C于A，B两点．
（1）求证：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
（2）若点P，Q在椭圆C上，直线PQ与x轴平行，直线PN交椭圆于另一个不同的点S，问：直线QS是否经过一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，说明理由．

分析化简（1+$\sqrt{3}$tanα）（1+$\sqrt{3}$tanβ）=4，得出$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\sqrt{3}$，即tan（α+β）的值，由此求出α+β的值．

解答解：∵（1+$\sqrt{3}$tanα）（1+$\sqrt{3}$tanβ）=4，
∴1+$\sqrt{3}$（tanα+tanβ）+3tanα•tanβ=4，
∴$\sqrt{3}$（tanα+tanβ）=3-3tanα•tanβ，
∴tanα+tanβ=$\sqrt{3}$（1-tanα•tanβ），
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\sqrt{3}$，
即tan（α+β）=$\sqrt{3}$；
又α、β为锐角，
∴0＜α+β＜π，
∴α+β=$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评本题考查了两角和与差的正切公式以及特殊角的三角函数值问题，熟练掌握公式是解题的关键．

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