衡水金卷先享题信息卷2023答案 福建版三文理 数学

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衡水金卷先享题信息卷2023答案 福建版三文理 数学试卷答案

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15．不等式$\frac{x+1}{2-x}$≤0的解集为（　　）

分析由已知求出k=1，函数y=x²（x＞0）的导数为y′=2x，由此利用导数的几何意义求出y=kx²在点（a_n，a_n²）处的切线方程，从而得到数列{a_n}是等比数列，公比q为$\frac{1}{2}$，由此能求出S₅．

解答解：∵二次函数y=kx²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n为正整数，
∴${{a}_{n}}^{2}=k{{a}_{n}}^{2}$，解得k=1，
∴函数y=x²（x＞0）的导数为y′=2x，
则在点（a_n，a_n²）处的切线方程为：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
当y=0时，解得x=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，即数列{a_n}是等比数列，公比q为$\frac{1}{2}$，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴S₅=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{48}$．
故答案为：$\frac{31}{48}$．

点评本题考查数列的前5项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和等比数列性质的合理运用．

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