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衡水金卷先享题压轴卷2023答案 新教材A三文理 数学试卷答案
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8．定义在R上的函数f（x），当x∈（-1，1]时，f（x）=x-x2，且对任意的x满足f（x-2）=af（x）（常数a＞0），则f（x）在（5，7]上的最大值是（ ）
| A． | $\frac{1}{4{a}^{3}}$ | B． | $\frac{{a}^{3}}{4}$ | C． | -$\frac{{a}^{3}}{4}$ | D． | -$\frac{1}{4{a}^{3}}$ |
分析当x≤2时，f（x）=-x+4≥2；当x＞2时，f（x）=1+logax，由于函数f（x）的值域是[2，+∞），可得a＞1，1+loga2≥2，解得a范围即可得出．
解答解：当x≤2时，f（x）=-x+4≥2；
当x＞2时，f（x）=1+logax，
∵函数f（x）的值域是[2，+∞），
∴a＞1，1+loga2≥2，解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
点评本题考查了分段函数的单调性值域、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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