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学林教育 2023年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷(五)文理 数学试卷答案
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8．求证：关于x的方程sin（cosx）=x在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有唯一的实数解．
分析分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（$\frac{2}{a}$）＞0，解出即可得到a的范围．
解答解：当a=0时，f（x）=-3x2+1=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＞0，列表如下：
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＜0，列表如下：
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（$\frac{2}{a}$）=a$\frac{2}{a}$）3-3（$\frac{2}{a}$）2+1＞0，
化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．
点评本题考查了函数的导数在判断函数的单调性的运用，函数的零点的判断及应用，属于难题．
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