湘教考苑2023年高考模拟试卷(试题卷一)文理 数学

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湘教考苑2023年高考模拟试卷(试题卷一)文理 数学试卷答案

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14．在△ABC中，用综合法证明：$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分不必要条件．

分析（1）利用三角函数恒等变换的应用化简cos（A-C）+cosB=1可得sinAsinC=$\frac{1}{2}$，利用正弦定理化简2bsinB=asinC．可得2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，结合B的范围，即可求sinB的值．
（2）由正弦定理化简已知可得：2b²=ac，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求ac，b，由余弦定理及平方和公式可解得a+c，即可得解．

解答解：（1）∵cos（A-C）+cosB=1，
⇒cos（A-C）-cos（A+C）=1，
⇒2sinAsinC=1，
⇒sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），解得：sinB=$\frac{1}{2}$．
（2）∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2b²=ac，
∵cosB=$\frac{3}{4}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面积为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=ac×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$，解得：ac=4，b=$\sqrt{\frac{ac}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：2=a²+c²-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-2ac-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-14，解得a+c=4，
∴△ABC的周长=a+c+b=4+$\sqrt{2}$．

点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及平方和公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

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