［福建质检］2023年福建市高三年级4月质检文理 数学

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［福建质检］2023年福建市高三年级4月质检文理 数学试卷答案

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1．一条直线经过P（1，2），且与A（2，3）、B（4，-5）距离相等，则直线l为3x+2y-7=0和4x+y-6=0．

分析（1）根据直线和圆相交的性质求出MN，再利用圆的切线性质求得Q的坐标，再用两点式求得直线MQ的方程．
（2）当MQ取得最短时，四边形QAMB面积的最小值，即Q与O重合，求得此时QA的值，接口求得四边形QAMB面积的最小值．

解答解：（1）圆M：x²+y²-4y+3=0，即x²+（y-2）²=1，圆心M（0，2），半径r=1．
由${（\frac{AB}{2}）}^{2}$+MN²=r²=1，求得：MN=$\frac{1}{3}$．
由BM²=MN•MQ，求得MQ=3．
设Q（x₀，0），则$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4}$=3，即x₀=±$\sqrt{5}$．
所以直线MQ的方程为2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0或2x-$\sqrt{5}$y+2$\sqrt{5}$=0．
（2）易知，当MQ取得最短时，四边形QAMB面积的最小值，即Q与O重合，
此时，QA=$\sqrt{3}$，
即四边形QAMB面积的最小值为1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，圆的标准方程，求直线的方程，属于中档题．

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