全国大联考2023届高三全国第八次联考8LK·新教材老高考文理 数学

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全国大联考2023届高三全国第八次联考8LK·新教材老高考文理 数学试卷答案

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4．称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{a_j}{a_i}$两数中至少有一个属于 A．
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）求a_n=30时n的最大值．

分析根据△ABM是顶角为135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．

解答解：不妨取点M在第一象限，如右图：
设双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∵△ABM是顶角为135°的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，
∴点M的坐标为（（$\sqrt{2}$+1）a，$\sqrt{2}$a），
又∵点M在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上，
∴将M坐标代入坐标得$\frac{（\sqrt{2}+1）^2a^2}{a^2}$-$\frac{2a^2}{b^2}$=1，
整理上式得，a²=（1+$\sqrt{2}$）b²，而c²=a²+b²=（2+$\sqrt{2}$）b²，
∴e²=$\frac{c^2}{a^2}$=$\sqrt{2}$，因此e=$\root{4}{2}$，
故选D．

点评本题主要考查了双曲线的简单几何性质，灵活运用几何关系是解决本题的关键，属于中档题．

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