全国大联考2023届高三全国第八次联考8LK文理 数学

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全国大联考2023届高三全国第八次联考8LK文理 数学试卷答案

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17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆C的标准方程；
②若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

分析直接运用正弦定理，余弦定理，面积公式，中线长公式求解．

解答解：设三边为a=3，b=2，c=4，
则由余弦定理得，cosA=$\frac{2^2+4^2-3^2}{2×2×4}$=$\frac{11}{16}$，所以，sinA=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
再根据正弦定理，外接圆直径为2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，所以R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
又有S_△ABC=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
且内切圆半径满足关系：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，解得r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
再根据中线长公式，设三边中线长分别为m_a，m_b，m_c，
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（b^2+c^2）-a^2}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，同理，m_b=$\frac{\sqrt{46}}{2}$，m_c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案分别为：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；$\frac{\sqrt{15}}{6}$；$\frac{8\sqrt{15}}{15}$；$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评本题主要考查了运用正弦，余弦定理解三角形，涉及三角形的面积，外接圆半径，内切圆半径，中线长，属于中档题．

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