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2023年全国高考·冲刺预测卷(四)文理 数学试卷答案
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1．在R上定义运算?：x?y=x（1-y），要使不等式（x-a）?（x+a）＞1成立，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | -1＜a＜1 | B． | 0＜a＜2 | C． | $a＜-\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{2}$ | D． | $-\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$ |
分析（Ⅰ）由点A$（\sqrt{2}，π）$在直线$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，得a=-1，从而$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，由此能求出直线L的直角坐标方程．
（Ⅱ）由已知得圆C直角坐标方程为x2+（y-2）2=1，求出圆心和半经，L的直角坐标方程为$x+y-\sqrt{2}a=0$，求出圆心C到直线L的距离，由此能求出a的值．
解答解：（Ⅰ）∵点A的极坐标为（$\sqrt{2}，π$），直线L的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$．
∵点A$（\sqrt{2}，π）$在直线$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，
∴$\sqrt{2}cos（π-\frac{π}{4}）=a$，解得a=-1，
∴$ρcos（θ-\frac{π}{4}）$=$ρcosθcos\frac{π}{4}+ρsinθsin\frac{π}{4}$=-1，
∴$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，
∴直线L的直角坐标方程为x+y=$\sqrt{2}$=0．…（4分）
（Ⅱ）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\y=2+sinα\end{array}\right.（α为参数）$，
∴由已知得圆C直角坐标方程为x2+（y-2）2=1，∴圆C的圆心为C（0，2），半经r=1，
而L的直角坐标方程为$x+y-\sqrt{2}a=0$，
依题意圆心C到直线L的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$d=\frac{{|2-\sqrt{2}a|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，或a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）
点评本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线距离公式的合理运用．
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