2023湖北十一校第二次高三3月联考文理 数学

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2023湖北十一校第二次高三3月联考文理 数学试卷答案

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15．已知椭圆C的两焦点坐标分别为（-1，0）和（1，0），并且经过点（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同两点A，B，问是否存在实数k使得以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，
求出k的值；若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）求出P（1，1），设p₀（x₀，y₀），由中点坐标公式和直线垂直的性质列出方程组能求出P₀的直角坐标．
（Ⅱ）设$Q（\sqrt{3}cosα，sinα）$，求出点Q到直线l的距离，由三角函数性质能求出Q到直线l的距离的最小值．

解答解：（Ⅰ）∵点P的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=1$，y=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，
∴P（1，1），
设p₀（x₀，y₀），
∵直线l的直角坐标方程为x-y+4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{y_0}-1}}{{{x_0}-1}}=-1\\\frac{{{x_0}+1}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}+4=0\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-3\\{y_0}=5\end{array}\right.$，
∴P₀的直角坐标为（-3，5）．
（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\y=sinα\end{array}\right.（α$为参数），
∴设$Q（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
点Q到直线l：x-y+4=0的距离：
$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα-sinα+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2cos（α+\frac{π}{6}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴当$cos（α+\frac{π}{6}）=-1$时，${d_{min}}=\sqrt{2}$．

点评本题考查点关于直线的对称点的直角坐标的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式及点到直线距离公式、三角函数性质的合理运用．

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