[常德二模]湖南省2023年常德市高三模拟考试文理 数学

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[常德二模]湖南省2023年常德市高三模拟考试文理 数学试卷答案

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20．已知曲线C上的动点P到两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l的方程为y=kx-2，其中k＜-2，且直线l交曲线C于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

分析（1）利用正弦定理即可得出；
（2）利用余弦定理与基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答解：（1）由条件$\sqrt{3}a=2csinA$得，$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，又△ABC为锐角三角形，所以C=6{0°}$
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得，3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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