江西省2024届八年级第六次阶段适应性评估【R-PGZX A JX】文理 数学

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江西省2024届八年级第六次阶段适应性评估【R-PGZX A JX】文理 数学试卷答案

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3．在极坐标系中已知圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$与直线 L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0
（1）将直线L和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求圆C上的点到直线L的最短距离．

分析（1）设圆C的标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=2，由于点C在直线y=x+1上，则b=a+1；圆C经过点P（5，4），可得（5-a）²+（4-b）²=2，联立解出即可得出；
（2）利用直线与圆相切的充要条件即可得出．

解答解：（1）设圆C的标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=2，
∵点C在直线y=x+1上，则b=a+1，
∵圆C经过点P（5，4），∴（5-a）²+（4-b）²=2，
解得：a=4，b=5．
∴圆C：（x-4）²+（y-5）²=2．
（2）设直线l斜率为k，则直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（4，5）到已知直线l的距离等于半径$\sqrt{2}$，
即$\frac{|4k-5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=$\frac{23}{7}$．
所求切线方程是y=x-1，或$\frac{23}{7}$x-$\frac{23}{7}$．

点评本题考查了圆的标准方程及其应用、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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