安徽省2023年名校之约·中考导向总复习模拟样卷（六）文理 数学

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安徽省2023年名校之约·中考导向总复*模拟样卷（六）文理 数学试卷答案

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10．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是（　　）

分析已知向量等式移向，平方求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$得出A，B，C三点在圆心的同一侧，从而得出圆周角∠C的大小；由AB=1求出$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，把$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{AB}$用$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$表示，展开后得答案．

解答解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，
两边平方可得：$9|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+16|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$=$25|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$．
∵A，B，C在圆上，设OA=OB=OC=1．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，可知A，B，C三点在圆心的同一侧，
∴根据圆周角定理知∠C=180°-$\frac{1}{2}$90°=135°；
故答案为：135°；
若AB=1，则$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$（\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：135°；$\frac{1}{5}$．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形外心的性质和应用，解题的关键是对于所给的向量式的整理，注意向量运算法则的灵活运用，是中档题．

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