炎德英才大联考2023届湖南新高考教学教研联盟高三第一次联考文理 数学

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炎德英才大联考2023届湖南新高考教学教研联盟高三第一次联考文理 数学试卷答案

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14．求双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1经过φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{2y′=y}\end{array}\right.$变换后所得曲线C′的焦点坐标．

分析由已知推导出AD⊥CD，BD⊥CD，从而CD⊥平面ABD，进而得到平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC；再由勾股定理得AB⊥AC，AB⊥AD，从而AD⊥平面ABC，进而得到平面ABD⊥平面ABC．由此能求出在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数．

解答解：如图，∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，
现将△ABD沿BD折起后使AC=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，AD²+CD²=AC²，
∴AD⊥CD，BD⊥CD，又AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面BDC，CD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC，
∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB⊥AD，AD∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，
∵AD?平面ABD，AD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面ABC，平面ADC⊥平面ABC．
∴在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为4个．
故选：C．

点评本题考查在四面体的四个面中两两构成直二面角的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意面面垂直的判定定理的合理运用．

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