洛平许济2022-2023学年高三第三次质量检测(3月)文理 数学

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洛平许济2022-2023学年高三第三次质量检测(3月)文理 数学试卷答案

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4．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$的解集为（　　）

分析4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），化为$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，根据数列{a_n}是正项数列，可得2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，当n=1时，解得a₁=1；当n=2时，可得a₂=$\sqrt{2}$-1；同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．验证即可得出．

解答解：∵4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），
∴$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
当n=1时，2a₁=a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$，解得a₁=1；
当n=2时，2（a₁+a₂）=${a}_{2}+\frac{1}{{a}_{2}}$，解得a₂=$\sqrt{2}$-1；
同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
可得S_n=$\sqrt{n}$，代入2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$验证成立，
∴a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，S_n=$\sqrt{n}$．
∴S₂₀₁₄=$\sqrt{2014}$，
故选：D．

点评本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想归纳验证推理能力与计算能力，属于中档题．

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