安徽省2022-2023学年八年级下学期教学质量调研一文理 数学

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安徽省2022-2023学年八年级下学期教学质量调研一文理 数学试卷答案

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12．已知函数f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-a）的定义域为A，值域为B．
（1）当a=5时，求集合A；
（2）设I=R为全集，集合M={x|y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2（a-5）x+4（a-5）-8}$}，若（∁_IM）∪（∁_IB）=∅，求实数a的取值范围．

分析设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为（m+n）x²-2nx+n-1=0，△＞0，利用中点坐标公式及其根与系数的关系可得：n=2m．由于以MN为直径的圆经过坐标原点，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=0，再利用根与系数的关系可得m+n=2，联立解出即可得出．

解答解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}={x}_{0}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（m+n）x²-2nx+n-1=0，
△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0，解得m+n-mn＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{2n}{m+n}$，x₁x₂=$\frac{n-1}{m+n}$．
∴x₀=$\frac{n}{m+n}$，y₀=1-x₀=$\frac{m}{m+n}$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，即n=2m．
∵以MN为直径的圆经过坐标原点，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{2（n-1）}{m+n}-\frac{2n}{m+n}$+1=0，
化为m+n=2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{n=2m}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{4}{3}$．满足△＞0．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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