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[唐山一模]唐山市2023届普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练文理 数学试卷答案
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5．在△ABC中，三内角A，B，C满足2B=A+C，求解：tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+$\sqrt{3}$tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$．
分析ef（x）＞f（1）ex?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，故由g（x）的单调性得出答案．
解答解：∵f′（x）＜f（x），∴$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
∴g（x）在R上是减函数．
∵ef（x）＞f（1）ex，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即g（x）＞g（1）．
∴x＜1．
故选：B．
点评本题考查了函数单调性与导数的关系，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是解题关键．
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