(新高考)高考数学一轮复习讲义第3章§3.7利用导数研究函数零点(含详解)

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1、3.7利用导数研究函数零点题型一数形结合法研究函数零点例1(2020全国)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ex(x2)，f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，解得x0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)令f(x)0，得exa(x2)，即，所以函数y的图象与函数(x)的图象有两个交点，(x)，当x(，1)时，(x)0；当x(1，)时，(x)0，所以(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)e，且x时，(x)；x时，(x)0，所以0.所以

2、a的取值范围是.教师备选已知函数f(x)xexex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)讨论函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数解(1)函数f(x)的定义域为R，且f(x)(x2)ex，令f(x)0得x2，则f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)单调递减单调递增f(x)的单调递减区间是(，2)，单调递增区间是(2，)当x2时，f(x)有极小值为f(2)，无极大值(2)令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)1时，f(x)0，且f(x)的图象经过点，(1,0)，(0,1)当x时，与一次函数相比，指数函数yex增长更快，从而f(x)0；当x时，f

3、(x)，f(x)，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数为yf(x)的图象与直线ya的交点个数当x2时，f(x)有极小值f(2).关于函数g(x)f(x)a(aR)的零点个数有如下结论：当a时，零点的个数为0；当a或a0时，零点的个数为1；当a0时，零点的个数为2.思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围跟踪训练1设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解

4、(1)当me时，f(x)ln x，f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)2.(2)由题意知g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)x2axf(x)的零点个数解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)xaln x可得f(x)1，由f(x)0可得xa；由f(x)0可得0xa，所以f(x)的单调递减区间为(0，a)

2.科学家研究发现,细胞内脂肪的合成与有氧呼吸过程有关,即Ca^2+*由蛋白A协助,逆浓度梯度进入内质网中,再进入线粒体中,促进丙酮酸逐渐转化成脂肪。脂肪储存于膜包被的脂滴中。下列有关叙述错误的是()A.Ca^2+进入内质网腔的方式属于主动运输B.细胞内包裹脂肪的脂滴膜可能是由单层磷脂分子构成的C.Ca^2+在线粒体内膜上调控有氧呼吸的第三阶段,进而影响脂肪的合成D.若控制蛋白A的基因突变,导致蛋白A不能合成,则Ca^2运输会受到影响

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