(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.12圆锥曲线中探索性与综合性问题(含详解)

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1、8.12圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一探索性问题例1(2022南通模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且3.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得QFM2QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设双曲线C的焦距为2c.由双曲线C的离心率为2知c2a，所以ba，从而双曲线C的方程可化为1.由题意知，l：yx，联立得2x22x63a20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为(2)242(63a2)7224a2

2、0，所以x1x2，x1x23a2.因为3，所以x1x2y1y2x1x2(x1)(x2)3，于是2x1x2(x1x2)6263，解得a1，所以双曲线C的标准方程为x21.(2)假设存在点M(t,0)(tb0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为1.(2)假设满足条件的直线l存在，由E(0，2)，F(，0)，得kEF，因为点F为EAB的垂心，所以ABEF，所以kAB，设直线l的

3、方程为yxt，代入1，得7x26tx6(t24)0，(6t)2476(t24)96t26720，即t0，所以直线l的方程为yx.思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意跟踪训练1(2022南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y24x，经过P(t,0)(t0)的直线l与C交于A，B两点(1)若t4，求AP长度的最小值；(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两

4、点，问是否存在t，使得4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解(1)设A，由P(4,0)，可得|AP|22yy16(y8)21212，当y02时，|AP|取得最小值2.(2)设直线AB的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得y24my4t0，即有y1y24m，y1y24t，设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3,0)，N(x4,0)，所以Q的轨迹方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.x1x2m(y1y2)2t4m22t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2mt(y1y2)t24m2t4m2tt2t2.所以Q的轨迹方程化为x2(4m22t

13.把文中画横线的句子翻译成现代汉语。(8分)(1)特建农圃,本督耕耘,思俾齐民,既康且富。(4分)▲(2)常平之法,行之自古,宜令诸州加时价三两钱,不得抑敛。(4分)▲

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