(新高考)高考数学一轮复习讲义第3章§3.8隐零点与极值点偏移问题培优课(含详解)

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1、3.8隐零点与极值点偏移问题题型一隐零点问题导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题例1(2022扬州模拟)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明不等式ex2axf(x)恒成立(1)解f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，得x，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明设函数(x

2、)ex2ln x(x0)，则(x)ex2，可知(x)在(0，)上单调递增又由(1)0知，(x)0在(0，)上有唯一实数根x0，且1×02，则(x0)0，即.当x(0，x0)时，(x)0，(x)单调递增，所以(x)(x0)ln x0，结合，知x02ln x0，所以(x)(x0)x020，则(x)ex2ln x0，即不等式ex2axf(x)恒成立思维升华零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x0)0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围(2)以零点为分界点，说明导函数f(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式

3、子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小跟踪训练1(2022淄博模拟)已知函数f(x)x2ln xx(a0)(1)当a时，求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)令F(x)af(x)x2，若F(x)12ax在x(1，)上恒成立，求整数a的最大值.解(1)当a时，f(x)2x2ln x4x，则f(x)4×4，可得f(1)1，且f(1)2ln 142，即函数f(x)在点(1，2)处的切线斜率k1，所以函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)由F(x)af(x)x2aln x(2a1)x，因为F(x)12ax在(1，)上恒成立，即aln x

4、(2a1)x12ax在(1，)上恒成立，即a1，可得h(x)，令t(x)ln x1(x1)，可得t(x)在(1，)上单调递增，且t(3)0，所以存在x0(3,4)，使得t(x0)ln x010，从而h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以h(x)minh(x0)x0(3,4)，因为a在(1，)上恒成立，所以ah(x)minx0，所以整数a的最大值为3.题型二极值点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色例2(12分)(2021新高考全国)已知函数f(x)x(1ln x)(1)讨论f(x)的单调性；切入点：导函数的正负判定(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln aaln bab，证明：2()x型，构造函数F(x)f(x)f，通过研究F(x)的单调性获得不等式(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明跟踪训练2(2022启东模拟)已知函数f(x)aexx，aR.

18.(15分)阅读材料,回答问题。材料一新中国成立初期,为了改善不合理的工业布局,在新疆地方政府的请求以发上海、天津、广东等沿海地区的支持下,国家将内地的14个工厂迁移到新疆。这些迁新工厂除了2家钢铁厂和2家建筑公司外,多是棉纺厂、织造厂和牙

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