江西省2023年初中学业水平模拟考试（一）文理 数学

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江西省2023年初中学业水平模拟考试（一）文理 数学试卷答案

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6．若f（x）是定义在R上的减函数，且对任意的a、b∈R满足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（-2）=12
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（k-2）＜f（2k）-6，求实数k的取值范围．

分析（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用已知及三角形的面积公式可求ac=4$\sqrt{2}$，利用余弦定理及平方和公式整理可得：a+c=2$\sqrt{2}+2$，两式联立即可求得a，c的值．

解答解：（1）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B为三角形的内角，
∴B=$\frac{π}{4}$；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=2，
∴解得：ac=4$\sqrt{2}$．①
∵由已知及余弦定理得：4=a²+c²-2accos$\frac{π}{4}$=a²+c²-$\sqrt{2}$ac=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=（a+c）²-8$\sqrt{2}$-8，
∴解得：（a+c）²=12+8$\sqrt{2}$，可得：a+c=2$\sqrt{2}+2$，②
∴由②可解得：a=2$\sqrt{2}+2$，代入①，整理可得：c²-（2$\sqrt{2}$+2）c+4$\sqrt{2}$=0．
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平方和公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．

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