安徽省2024届八年级下学期第一次教学质量检测文理 数学

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安徽省2024届八年级下学期第一次教学质量检测文理 数学试卷答案

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4．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴长为4，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点
（1）求椭圆G的方程；
（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

分析直接运用正弦定理，余弦定理，面积公式，中线长公式求解．

解答解：设三边为a=3，b=2，c=4，
则由余弦定理得，cosA=$\frac{2^2+4^2-3^2}{2×2×4}$=$\frac{11}{16}$，所以，sinA=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
再根据正弦定理，外接圆直径为2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，所以R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
又有S_△ABC=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
且内切圆半径满足关系：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，解得r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
再根据中线长公式，设三边中线长分别为m_a，m_b，m_c，
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（b^2+c^2）-a^2}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，同理，m_b=$\frac{\sqrt{46}}{2}$，m_c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案分别为：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；$\frac{\sqrt{15}}{6}$；$\frac{8\sqrt{15}}{15}$；$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评本题主要考查了运用正弦，余弦定理解三角形，涉及三角形的面积，外接圆半径，内切圆半径，中线长，属于中档题．

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