2019人教版 必修二 第七章 万有引力的综合应用（原卷版+解析版）

专题8 万有引力的综合应用（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
求解中心天体质量与密度 重难点
宇宙速度与天体自转不瓦解问题 重点
双星问题 重点
天体运动中的追及相遇问题 重点
二、知识点解析
1．中心天体的质量求解
(1)利用重力加速度g求解
若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，则有：，可以求得地球质量．
(2)利用圆周运动求解
若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为R，根据万有引力提供向心力，即：
，可求得地球质量．
若已知月球绕地球匀速圆周运动的半径R和月球运动的线速度v，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，解得地球的质量为．
若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，，将以上两式消去R，解得．
2．中心天体的密度求解
通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即，得天体质量
(1)若已知天体的半径R，则天体的密度
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r等于天体的半径R，其周期为T，则天体的密度
．
3．宇宙速度及其意义
(1)第一宇宙速度
人造卫星的环绕速度随着卫星轨道半径r的增大而减小，当轨道半径取最小值R时，人造卫星的最大环绕速度即为第一宇宙速度．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度．
①第一宇宙速度的两种求解方法
方法一：由于地球对卫星的万有引力是卫星环绕运动的向心力，即，则有．式中R取地球半径 km，地球质量 kg，则有第一宇宙速度 km/s．
方法二：由于地球对卫星的万有引力约等于卫星所在处的重力，这个重力就是卫星环绕地球运动的向心力．所以，则．式中R取地球半径 km，g为地球重力加速度 m/s2，则有第一宇宙速度 km/s．
由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度的值由中心星体决定，可以说任何一颗恒星都有自己的第一宇宙速度，都应以或表示，式中G为万有引力常量，M为中心星体的质量，g为中心星体表面的重力加速度，R为中心星体的半径．
②第一宇宙速度的意义
第一宇宙速度是物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度，其值为： m/s．
第一宇宙速度是人造卫星的最小地面发射速度．一个质量为m的卫星在地面被发射入轨，设发射速度为v0．
若，则，即卫星入轨后恰好环绕地球做匀速圆周运动．
若v0 > v1，则，即卫星所受万有引力不足以提供足够的向心力，卫星入轨后将先做离心运动，其轨迹可能是椭圆，抛物线或双曲线．
若v0 < v1，则，即卫星所受万有引力大于卫星所需向心力．卫星将做靠近圆心的运动而落回地面．可见要在地面上将卫星送入轨道，需要 km/s，即人造卫星的最小地面发射速度为km/s．
(2)第二宇宙速度
当卫星的发射速度等于或大于11.2 km/s的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，我们把v2=11.2 km/s叫做第二宇宙速度，也称为脱离速度．第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
如果卫星的发射速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，卫星将做椭圆运动．
(3)第三宇宙速度
当卫星的发射速度等于或大于16.7 km/s时，物体就可以摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s叫做第三宇宙速度，也称为逃逸速度．第三宇宙速度是挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度．
4．天体运动中的追及相遇问题
两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运动轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远．
设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两卫星与地心连线转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，即：；如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即：．.
5．天体自转不瓦解问题
天体自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上质量为Δm的一部分将离未离天体的临界条件是：天体对该部分的支持力为零．此时对Δm这部分运用万有引力和牛顿第二定律有：或，若已知天体的质量和半径或天体的平均密度，可求出天体自转的最大角速度；若已知天体的最大自转角速度或最小周期，可求出天体的最小平均密度．
6．双星问题
在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．
(1)模型特点
如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：
①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供，故两行星做匀速圆周运动的向心力为．
③两星的运动周期、角速度相同．
④两星的运动半径之和等于它们间的距离，即.
(2)双星问题的处理方法
两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的，有：
：；：，且．
于是有：，，则某恒星的运动半径与其质量成反比，即r1∶r2=m2∶m1；
，，则质量之和：m1＋m2＝．
注意：万有引力定律表达式中的R表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在题目中为r1、r2，一定要注意．
三、考查方向
题型1：天体质量的计算
典例一：（2017 北京）利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　）
A．地球的半径及地球表面附近的重力加速度（不考虑地球自转的影响）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
题型2：天体密度的计算
典例二：（2020 新课标Ⅱ）若一均匀球形星体的密度为，引力常量为，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是　　
A． B． C． D．
题型3：宇宙速度
典例三：（2020 北京）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是　　
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
题型4：双星问题
典例四：（2018 新课标Ⅰ 多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约时，它们相距约，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星　　
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
题型5：天体中的追及相遇问题
典例五：甲，乙两颗人造卫星在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，甲卫星距离地面的高度是地球半径的，乙卫星距离地面的高度是地球半径的5倍．某时刻两卫星相距最近，问：经过多少个乙卫星做圆周运动的周期，两卫星第一次相距最远？
四、模拟训练
一、基础练*
1.（多选）质量为的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为，月球半径为，月球表面重力加速度为，引力常量为，不考虑月球自转的影响，则航天器的　　
A．线速度 B．角速度
C．运行周期 D．向心加速度
2.（多选）通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是　　
A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径
3.（多选）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为，速度为，引力常量为，则　　
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
4.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度，运动周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是　　
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
5.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量　　
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
6.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为　　
A． B． C． D．
7.（新课标Ⅱ）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为，赤道的大小为；地球自转的周期为，引力常量为．则地球的密度为　　
A． B．
C． D．
8.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星打下坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为，若火星的平均密度为．下列关系式中正确的是　　
A． B． C． D．
9.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出　　
A．地球的平均密度与月球的平均密度之比约为
B．地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为
C．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为
D．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为
10.(多选)关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星的运行速度
D．不同行星的第一宇宙速度是不同的
11.2013年12月15日4时35分，嫦娥三号着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，登陆月球后玉兔号月球车将开展3个月巡视勘察．一同学设计实验来测定月球的第一宇宙速度：设想通过月球车上的装置在距离月球表面高处平抛一个物体，抛出的初速度为，测量出水平射程，已知月球的半径为，月球的第一宇宙速度为( )
A． B． C． D．
12.所谓双星就是两颗相距较近的恒星，在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动．如图所示，两个质量不等的恒星a、b构成一个双星系统，它们分別环绕着O点做匀速圆周运动．关于a、b两颗星的运动和受力，下列判断正确的是(　　)
A．向心力大小相等
B．向心加速度大小相等
C．线速度大小相等
D．周期大小不相等
13.（多选）引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测．1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球仅在相互间的万有引力作用下，绕点做匀速圆周运动；假设双星间的距离已知且保持不变，两星周期为，质量分别为、，对应的轨道半径为、，加速度大小为、，万有引力常量为，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
14.(多选)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测．1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球仅在相互间的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动；假设双星间的距离L已知且保持不变，两星周期为T，质量分别为m1、m2，对应的轨道半径为r1、r2(r1≠r2)，加速度大小为a1、a2，万有引力常量为G，则下列关系式正确的是( )
A．m1a1=m2a2 B．a1r12=a2r22 C．m1r1=m2r2 D．T2=
15.质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G．下列说法正确的是( )
A．双星系统的平均密度为
B．O点离质量较大的星体较远
C．双星系统的总质量为
D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零
16.在地里表面某一高度处自由释放一小球，经过时间t小球落到地面；在某星球表面相同高度处自由释放同一小球，需经过时间2t小球落到星球表面．已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，地球表面重力加速度g=10 m/s2，且不计空气阻力．求：
(1)该星球表面附近的重力加速度g星；
(2)该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
17.已知地球半径为，地球表面重力加速度为，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为，求卫星的运行周期。
18.设“嫦娥二号”卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．求：
(1)月球的质量M；
(2)月球的密度ρ．
19.如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T，地球和太阳中心的连线与地球和行星中心的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．某时刻该行星恰好处于最佳观察期，且行星的位置超前于地球．求：
(1)行星绕太阳运转的周期T′；
(2)该行星下一次处于最佳观察期至少经历的时间．
二、提升练*
1.（2020 红桥区一模）若已知行星绕太阳公转的半径为，公转的周期为，万有引力恒量为，则由此可求出　　
A．某行星的质量 B．太阳的质量 C．某行星的密度 D．太阳的密度
2.（2018 朝阳区一模）2017年2月，美国宇航局宣布，在一颗恒星的周围发现多达7颗大小与地球接近的行星，其中3颗可能存在生命。若某颗行星绕该恒星做圆周运动，并测出了轨道半径和运行周期。引力常量已知，则可推算出　　
A．行星的质量 B．行星的半径 C．恒星的质量 D．恒星的半径
3.（2019 北京）2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。该卫星　　
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
4.（2018 天津 多选）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的　　
A．密度
B．向心力的大小
C．离地高度
D．线速度的大小
5.（2020春 大武口区校级期末）设同步卫星离地心的距离为，运行速率为，加速度为；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球的半径为，则下列比值正确的是　　
A． B． C． D．
典例一
【答案】：D。
【解析】：A．根据万有引力等于重力=mg，可以计算出地球的质量，A正确；
B．根据v=可计算出卫星的轨道半径r，万有引力提供向心力，则=可求出地球质量，B正确；
C．根据=可求出地球的质量，C正确；
D．可根据则=计算出太阳的质量，但无法计算地球的质量，D错误．
典例二
【答案】A
【解析】设星球的质量为，半径为，卫星的质量为，运行周期为，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所需的向心力由星球对其的万有引力提供，则根据牛顿第二定律得：①，星球的密度：②，联立①②解得，故正确，错误；选：。
典例三
【答案】A
【解析】、当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故正确；
、第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故错误；
、万有引力提供向心力，则有：，解得第一宇宙速度为：
所以火星的第一宇宙速度为：，因此火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故错误；
、万有引力近似等于重力，则有：，解得：火星表面的重力加速度，，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故错误。
故选：。
典例四
【答案】BC
【解析】、设两颗星的质量分别为、，轨道半径分别为、，相距，
根据万有引力提供向心力可知：，，
整理可得：，解得质量之和，其中周期，故错误、正确；、由于，则角速度为：，这是公转角速度，不是自转角速度，根据可知：，，解得：，故正确，错误。
故选：。
典例五
【答案】：经过个乙卫星做圆周运动的周期，两卫星第一次相距最远
【解析】：(1)由题甲乙两卫星的轨道分别为r1=，r2=6R
由开普勒行星运动规律，k相同，则得，所以==
设经过t时间二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时甲比乙多转π角度，则
这段时间乙经过的周期数为n=，解得，n=．
五、模拟训练
一、基础练*
1.【答案】AC
【解析】根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：
、故正确；、故错误；
、故正确；、故错误。故选：。
2.【答案】AD
【解析】卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
、已知卫星的速度和角速度，则轨道半径，根据即可求解冥王星质量，故正确；
、根据可知，卫星的质量可以约去，只知道半径不能求出冥王星质量，故错误；
、根据可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度不能求出冥王星质量，故错误；
、根据可知，知道卫星的运行周期和轨道半径可求解冥王星质量，故正确；
故选：。
3.【答案】ACD
【解析】根据圆周运动知识得：由得到：行星运动的轨道半径为①，
、根据万有引力提供向心力，列出等式：②
由①②得，故正确；、根据题意无法求出行星的质量，故错误。
、通过以上分析，故正确。、根据③
由①③得：行星运动的加速度为．故正确。故选：。
4.【答案】B
【解析】、绕月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为、轨道半径为、月球质量为，有
地球表面重力加速度公式：，联立①②可以求解出：，即可以求出月球表面的重力加速度；由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出；由可以求出卫星绕月球运行的速度；由可以求出卫星绕月运行的加速度；本题要选不能求出的，故选。
5.【答案】C
【解析】根据密度公式得：
、已知飞船的轨道半径，无法求出行星的密度，故错误。
、已知飞船的运行速度，根据根据万有引力提供向心力，列出等式。
，得： 代入密度公式无法求出行星的密度，故错误。
、根据根据万有引力提供向心力，列出等式： 得：
代入密度公式得：，故正确。
、已知行星的质量无法求出行星的密度，故错误。故选：。
6.【答案】D
【解析】万有引力等于向心力，解得：；又由于
因而：，解得：。故选：。
7.【答案】B
【解析】在两极，引力等于重力，则有：，由此可得地球质量，
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：，
而密度公式，，故正确，错误；故选：。
8.【答案】D
【解析】根据，解得。则密度．即．
故正确、、错误。
故选：。
9.【答案】C
【解析】、，已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍，所以地球的平均密度与月球的平均密度之比约为．故错误。
、根据万有引力等于重力表示出重力加速度得得：，得：，其中为星球半径，为星球质量。所以地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为．故错误。
、研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式，得：，其中为星球半径，为星球质量。所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为，故正确。、研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式，得：，其中为星球半径，为星球质量，所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为，故错误。故选：。
10.【答案】：BD
【解析】：A、B、人造卫星在圆轨道上运行时，运行速度为：v=，轨道半径越大，速度越小，故第一宇宙速度是卫星在圆轨道上运行的最大速度，故A错误，B正确；
C、第一宇宙速度是地球近地卫星的运行速度v1=，同步卫星的轨道半径比较大，根据v=，则同步卫星的速度比较小，故C错误；
D、根据第一宇宙速度公式度v1=，不同的行星质量M和半径R不同，故第一宇宙速度不同，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】B
【解析】：根据平抛运动的规律知：，，解得月球表面的重力加速度为：；根据，联立解得：
12.【答案】：A
【解析】：A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，则向心力大小相等，故A正确．
B、双星共轴转动，角速度相等，根据a=ω2r，知它们的向心加速度与轨道半径成正比，所以它们的向心加速度是不相等的．故B错误；
C、双星共轴转动，角速度相等，根据F=mω2r，得：r=知它们的轨道半径与质量成反比，则v=rω=，线速度与质量成反比，可知线速度大小不等，故C错误．
D、角速度相等，由T=，知周期相等，故D错误．
故选：A．
13.【答案】ACD
【解析】、根据万有引力提供向心力得：，故正确；
、双星系统的角速度是相等的，根据，知，结合的分析可得：，故错误正确。
、根据和，解得，故正确。
故选：。
14.【答案】：ACD
【解析】：A．根据万有引力提供向心力得：=m1a1=m2a2，故A正确；
B．双星系统的角速度是相等的，根据=m1r1ω2=m2r2ω2，知m1r1=m2r2，结合A的分析可得：，故B错误C正确．
15.【答案】：C
【解析】：B．双星做圆周运动的角速度大小相等，靠相互间的万有引力提供向心力，知向心力大小相等，则有：，则，因为两颗恒星的质量不等，则做圆周运动的半径不同．双星中质量较大的轨道半径小，O点离质量较大的星体较近．故B错误；
C．根据，，联立两式解得：．故C正确；
A．双星系统的平均密度为：，故A错误；
D．因为O点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在O点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零．故O错误．
16.【答案】：(1)该星球表面附近的重力加速度g星为2.5 m/s2；
(2)该星球的质量与地球质量之比M星：M地为1：64．
【解析】：(1)由自由落体规律得：h=gt2，
由题意可知，gt2=g星(2t)2，
解得：g星=2.5 m/s2；
(2)万有引力等于重力，万有引力提供向心力，则：G=mg地，=mg星，
由题意可知：R星：R地=1：4，
解得：M星：M地=1：64；
17.【答案】见解析
【解析】（1）设卫星的质量为，地球的质量为，在地球表面附近满足
得：①，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力②
①式代入②式，得到，故第一宇宙速度的表达式为。
（2）卫星受到的万有引力为③，由牛顿第二定律④
③、④联立解得，故卫星的运行周期为。
18.【答案】：(1)月球的质量为．
(2)月球的密度为．
【解析】：(1)万有引力提供“嫦娥二号”做匀速圆周运动的向心力，则有G=m(R+h)
解得：M=．
(2)月球的体积为：V=，故月球的密度为：ρ=，得 ρ=．
19.【答案】：(1) T′=；(2)．
【解析】：(1)由题意可知行星的轨道半径r为：r=Rsinθ…①
设行星绕太阳的运转周期为T′，由开普勒第三定律有： ②
由①②解得：
(2)设经时间t地球转过α角，行星再次处于最佳观察期
则行星转过的角度β为：β=π+α+2θ ③，那么：…④，…⑤
由①②③④⑤可得：．
二、提升练*
1.【答案】B
【解析】、根据题意不能求出行星的质量。故错误；
、研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：
得：，所以能求出太阳的质量，故正确；
、不清楚行星的质量和体积，所以不能求出行星的密度，故错误；
、不知道太阳的体积，所以不能求出太阳的密度。故错误。故选：。
2.【答案】C
【解析】行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：，得恒星的质量，则知，知道行星的轨道半径和周期，可以求出恒星的质量，行星是环绕天体，在分析时质量约去，不能求出行星的质量，也不能求出恒星和行星的半径。故正确，、、错误。
故选：。
3.【答案】D
【解析】、同步卫星只能在赤道上空，故错误；
、所有卫星的运行速度都不大于第一宇宙速度，故错误；
、同步卫星的发射速度都要大于第一宇宙速度，故错误；
、依据能量守恒定律可知，将卫星发射到越高的轨道需要克服引力所作的功越大，所以发射到近地圆轨道，所需能量较小，故正确；
故选：。
4.【答案】CD
【答案】、设观测可以得到卫星绕地球运动的周期为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为；
地球表面的重力由万有引力提供，所以：
等号的两侧都有卫星得质量，所以不能求出卫星的质量，就不能求出卫星的密度。故错误；
、题目中没有告诉卫星的质量，不能求出卫星受到的向心力。故错误；
、根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得： 可以求出卫星的高度。故正确；
、由牛顿第二定律得：
解得：，可知可以求出卫星的线速度。故正确。故选：。
5.【答案】B
【解析】、由万有引力提供向心力可得，则，则错误
、同步卫星的周期与地球的自转周期相同，根据得出，则正确，错误
故选：。专题8 万有引力的综合应用（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
求解中心天体质量与密度 重难点
宇宙速度与天体自转不瓦解问题 重点
双星问题 重点
天体运动中的追及相遇问题 重点
二、知识点解析
1．中心天体的质量求解
(1)利用重力加速度g求解
若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，则有：，可以求得地球质量．
(2)利用圆周运动求解
若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为R，根据万有引力提供向心力，即：
，可求得地球质量．
若已知月球绕地球匀速圆周运动的半径R和月球运动的线速度v，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，解得地球的质量为．
若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，，将以上两式消去R，解得．
2．中心天体的密度求解
通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即，得天体质量
(1)若已知天体的半径R，则天体的密度
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r等于天体的半径R，其周期为T，则天体的密度
．
3．宇宙速度及其意义
(1)第一宇宙速度
人造卫星的环绕速度随着卫星轨道半径r的增大而减小，当轨道半径取最小值R时，人造卫星的最大环绕速度即为第一宇宙速度．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度．
①第一宇宙速度的两种求解方法
方法一：由于地球对卫星的万有引力是卫星环绕运动的向心力，即，则有．式中R取地球半径 km，地球质量 kg，则有第一宇宙速度 km/s．
方法二：由于地球对卫星的万有引力约等于卫星所在处的重力，这个重力就是卫星环绕地球运动的向心力．所以，则．式中R取地球半径 km，g为地球重力加速度 m/s2，则有第一宇宙速度 km/s．
由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度的值由中心星体决定，可以说任何一颗恒星都有自己的第一宇宙速度，都应以或表示，式中G为万有引力常量，M为中心星体的质量，g为中心星体表面的重力加速度，R为中心星体的半径．
②第一宇宙速度的意义
第一宇宙速度是物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度，其值为： m/s．
第一宇宙速度是人造卫星的最小地面发射速度．一个质量为m的卫星在地面被发射入轨，设发射速度为v0．
若，则，即卫星入轨后恰好环绕地球做匀速圆周运动．
若v0 > v1，则，即卫星所受万有引力不足以提供足够的向心力，卫星入轨后将先做离心运动，其轨迹可能是椭圆，抛物线或双曲线．
若v0 < v1，则，即卫星所受万有引力大于卫星所需向心力．卫星将做靠近圆心的运动而落回地面．可见要在地面上将卫星送入轨道，需要 km/s，即人造卫星的最小地面发射速度为km/s．
(2)第二宇宙速度
当卫星的发射速度等于或大于11.2 km/s的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，我们把v2=11.2 km/s叫做第二宇宙速度，也称为脱离速度．第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
如果卫星的发射速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，卫星将做椭圆运动．
(3)第三宇宙速度
当卫星的发射速度等于或大于16.7 km/s时，物体就可以摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s叫做第三宇宙速度，也称为逃逸速度．第三宇宙速度是挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度．
4．天体运动中的追及相遇问题
两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运动轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远．
设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两卫星与地心连线转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，即：；如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即：．.
5．天体自转不瓦解问题
天体自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上质量为Δm的一部分将离未离天体的临界条件是：天体对该部分的支持力为零．此时对Δm这部分运用万有引力和牛顿第二定律有：或，若已知天体的质量和半径或天体的平均密度，可求出天体自转的最大角速度；若已知天体的最大自转角速度或最小周期，可求出天体的最小平均密度．
6．双星问题
在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．
(1)模型特点
如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：
①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供，故两行星做匀速圆周运动的向心力为．
③两星的运动周期、角速度相同．
④两星的运动半径之和等于它们间的距离，即.
(2)双星问题的处理方法
两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的，有：
：；：，且．
于是有：，，则某恒星的运动半径与其质量成反比，即r1∶r2=m2∶m1；
，，则质量之和：m1＋m2＝．
注意：万有引力定律表达式中的R表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在题目中为r1、r2，一定要注意．
三、考查方向
题型1：天体质量的计算
典例一：（2017 北京）利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　）
A．地球的半径及地球表面附近的重力加速度（不考虑地球自转的影响）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
题型2：天体密度的计算
典例二：（2020 新课标Ⅱ）若一均匀球形星体的密度为，引力常量为，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是　　
A． B． C． D．
题型3：宇宙速度
典例三：（2020 北京）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是　　
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
题型4：双星问题
典例四：（2018 新课标Ⅰ 多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约时，它们相距约，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星　　
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
题型5：天体中的追及相遇问题
典例五：甲，乙两颗人造卫星在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，甲卫星距离地面的高度是地球半径的，乙卫星距离地面的高度是地球半径的5倍．某时刻两卫星相距最近，问：经过多少个乙卫星做圆周运动的周期，两卫星第一次相距最远？
四、模拟训练
一、基础练*
1.（多选）质量为的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为，月球半径为，月球表面重力加速度为，引力常量为，不考虑月球自转的影响，则航天器的　　
A．线速度 B．角速度
C．运行周期 D．向心加速度
2.（多选）通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是　　
A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径
3.（多选）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为，速度为，引力常量为，则　　
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
4.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度，运动周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是　　
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
5.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量　　
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
6.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为　　
A． B． C． D．
7.（新课标Ⅱ）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为，赤道的大小为；地球自转的周期为，引力常量为．则地球的密度为　　
A． B．
C． D．
8.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星打下坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为，若火星的平均密度为．下列关系式中正确的是　　
A． B． C． D．
9.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出　　
A．地球的平均密度与月球的平均密度之比约为
B．地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为
C．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为
D．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为
10.(多选)关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星运行的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星的运行速度
D．不同行星的第一宇宙速度是不同的
11.2013年12月15日4时35分，嫦娥三号着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，登陆月球后玉兔号月球车将开展3个月巡视勘察．一同学设计实验来测定月球的第一宇宙速度：设想通过月球车上的装置在距离月球表面高处平抛一个物体，抛出的初速度为，测量出水平射程，已知月球的半径为，月球的第一宇宙速度为( )
A． B． C． D．
12.所谓双星就是两颗相距较近的恒星，在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动．如图所示，两个质量不等的恒星a、b构成一个双星系统，它们分別环绕着O点做匀速圆周运动．关于a、b两颗星的运动和受力，下列判断正确的是(　　)
A．向心力大小相等
B．向心加速度大小相等
C．线速度大小相等
D．周期大小不相等
13.（多选）引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测．1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球仅在相互间的万有引力作用下，绕点做匀速圆周运动；假设双星间的距离已知且保持不变，两星周期为，质量分别为、，对应的轨道半径为、，加速度大小为、，万有引力常量为，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
14.(多选)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测．1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球仅在相互间的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动；假设双星间的距离L已知且保持不变，两星周期为T，质量分别为m1、m2，对应的轨道半径为r1、r2(r1≠r2)，加速度大小为a1、a2，万有引力常量为G，则下列关系式正确的是( )
A．m1a1=m2a2 B．a1r12=a2r22 C．m1r1=m2r2 D．T2=
15.质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G．下列说法正确的是( )
A．双星系统的平均密度为
B．O点离质量较大的星体较远
C．双星系统的总质量为
D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零
16.在地里表面某一高度处自由释放一小球，经过时间t小球落到地面；在某星球表面相同高度处自由释放同一小球，需经过时间2t小球落到星球表面．已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，地球表面重力加速度g=10 m/s2，且不计空气阻力．求：
(1)该星球表面附近的重力加速度g星；
(2)该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
17.已知地球半径为，地球表面重力加速度为，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为，求卫星的运行周期。
18.设“嫦娥二号”卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．求：
(1)月球的质量M；
(2)月球的密度ρ．
19.如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T，地球和太阳中心的连线与地球和行星中心的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．某时刻该行星恰好处于最佳观察期，且行星的位置超前于地球．求：
(1)行星绕太阳运转的周期T′；
(2)该行星下一次处于最佳观察期至少经历的时间．
二、提升练*
1.（2020 红桥区一模）若已知行星绕太阳公转的半径为，公转的周期为，万有引力恒量为，则由此可求出　　
A．某行星的质量 B．太阳的质量 C．某行星的密度 D．太阳的密度
2.（2018 朝阳区一模）2017年2月，美国宇航局宣布，在一颗恒星的周围发现多达7颗大小与地球接近的行星，其中3颗可能存在生命。若某颗行星绕该恒星做圆周运动，并测出了轨道半径和运行周期。引力常量已知，则可推算出　　
A．行星的质量 B．行星的半径 C．恒星的质量 D．恒星的半径
3.（2019 北京）2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。该卫星　　
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
4.（2018 天津 多选）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的　　
A．密度
B．向心力的大小
C．离地高度
D．线速度的大小
5.（2020春 大武口区校级期末）设同步卫星离地心的距离为，运行速率为，加速度为；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球的半径为，则下列比值正确的是　　
A． B． C． D．

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