厚德诚品 湖南省2023高考冲刺试卷(六)6文理 数学

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厚德诚品 湖南省2023高考冲刺试卷(六)6文理 数学试卷答案

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15．设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称．
（1）求实数m的值；
（2）是否存在直线PQ，满足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

分析利用三角换元，结合配方法，即可得出结论．

解答解：设a=1+cosα，b=1+sinα，
则ab=（1+cosα）（1+sinα）=1+（cosα+sinα）+cosαsinα
令t=cosα+sinα（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），则ab=1+t+$\frac{1}{2}$（t²-1）=$\frac{1}{2}$（t+1）²，
∴t=$\sqrt{2}$时，ab的最大值是$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

点评本题考查点与圆的位置关系，考查换元法的运用，属于中档题．

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