2022年第39届全国中学生物理竞赛复赛试题（答案）

第39届全国中学生物理竞赛复赛试题
（2022年10月6日上午9:00-12:00）
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本试题共8道题，6页，总分为320分。
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一、（40分）新型电动汽车在刹车时，可以用发电机来回收能量。假设此发电机原理可抽象为如图1所示，两磁极之间的磁场可近似为均匀磁场，磁感应强度大小为。绕有匝导线的线圈为长方形，长、宽分别为和，整个线圈都处于磁场中。线圈转轴为两条短边的三分点连线（见图1），线圈外接有阻值为的纯电阻负载。忽略线圈电阻，假设电动汽车刹车时受到的地面摩擦力等阻力与发电机线圈转动导致的阻力相比可以忽略，即刹车时失去的动能全部用来发电，电动汽车质量为。
图1
（1）初始时刻线圈平面与磁场垂直，若线圈转动角速度恒为，求电路开路时线圈两端电压随时间的变化。
（2）线圈和电阻回路闭合后，当电动汽车在水平面上刹车至速度为时，线圈平面转过磁场方向与磁场夹角为(0<</2), 线圈转动角速度为, 求此时电动汽车的加速度大小。
（3）线圈和电阻回路闭合后，电动汽车在水平面上以某初始速度开始刹车。假设在某种刹车模式下，线圈刚好转过N圈后，电动汽车完全刹住，直到刹停前发电机线圈转动角速度为恒值。求电动车初速度。
（4）线圈和电阻回路闭合后，电动汽车在水平面上以某初始速度开始刹车。假设在另一种刹车模式下，刹车开始时线圈平面刚好与磁场垂直，且发电机线圈转动第一圈时角速度为, 之后每转动一圈角速度的值为前一圈角速度的一半。若在发电机转完第圈，且未转完第圈时，电动汽车刹停。求电动汽车初速度的范围。
二、（40分）根据广义相对论，当光线经过某大质量球对称天体附近时，会向天体方向弯曲一个很小的角度，称为偏折角，即出射光与入射光的夹角。已知，其中常数，为光线与天体中心的最近距离，为万有引力常数，为天体质量，为真空中光速。
物理常数和单位：，，。
(1) 如图2a所示，当发光背景天体、大质量球对称天体中心以及望远镜恰好处在同一条直线上时，望远镜会观测到爱因斯坦环这一引力透镜现象。已知一背景天体发出的光线通过某近邻白矮星附近时，形成的爱因斯坦环相对于望远镜的角半径毫弧秒，近邻白矮星到望远镜的距离为秒差距，背景天体到望远镜的距离为秒差距。求该近邻白矮星的质量。
图2a
（2）引力透镜现象可以用一个轴对称光学透镜来模拟演示。透镜的横截面如图2b所示，轴为旋转对称轴，透镜入射面在的区域不透光，出射面垂直于轴。假设光线平行于轴入射，入射光与轴距离为，偏折角仍满足。已知光学透镜的折射率为，空气折射率为，偏折角可视为小角度。求透镜入射面在区域的表达式，用、、和表示。
图2b 图2c
（3）引力透镜现象还可以用一个轴对称等厚变折射率透镜模拟演示。透镜的横截面如图2c所示，轴为旋转对称轴，透镜厚度为，透镜折射率。假设光线垂直入射，入射光与轴距离为，忽略光线在透镜内的偏折，光线在透镜出射面的偏折角仍满足，偏折角可视为小角度。已知，且区域不透光。求透镜折射率在区域的表达式，用、、、、表示。
三、（40分）中国传统建筑“卯榫穿插，层层出挑”，是中国传统文化的表现。卯榫结构是中国古建木架结构中的重要形式，看似零碎的木质部件，却可以托起千钧重量。卯榫工艺汇聚了我国古人的智慧，广泛应用于木塔、钟鼓楼、住宅、寺庙等古建。卯榫结构弯曲变形时，由于卯榫的卯头截面尺寸比大梁或立柱本身的截面尺寸小得多，所以其弯曲刚度亦小得多，在框架失稳变形时，大梁和立柱的变形可以忽略不计。如图3a所示，当卯榫结构受弯矩作用其弯曲转角小于临界角时，卯榫的弯矩和转角之间满足线性关系，其中为卯榫的弯曲变形刚度系数。北京大钟寺的永乐大钟重46.5吨悬挂在木架上（图3b），木架由大梁和立柱通过卯榫结构进行连接，其承重立柱立在石座上，石座与立柱之间的连接可以视为满足简支条件，即立柱仅绕支点无滑转动。由于该木架结构较为复杂，基于以上假设及理论，考虑竖直面内二维“卯榫”框架力学问题。木架质量相对承载重物质量非常小，忽略木架质量及卯榫摩擦损耗。
图3a 图3b
（1）如图3c所示，竖直面内门型卯榫框架立于水平基石C、D处，已知立柱高为、横梁长为。立柱、横梁由卯榫结构连接于A、B，该卯榫的弯曲变形刚度系数为。若在横梁中心固定一重物，木架失稳后立柱在竖直面内的侧倾角最大可达，求重物重量。
图3c 图3d
（2）若以上木架横梁中心固定重物的质量为，系统失稳后立柱侧倾角很小。求木架和重物构成的系统失稳后作简谐振动所需条件，以及该系统简谐振动的角频率。重力加速度大小为。
（3）如图3d所示，为了提高木架受扰后的稳定性和承重能力，在制作卯榫结构时使木架立柱AC、BD具有一个原始倾角，从而具有等腰梯形结构。设倾斜立柱和横梁的长度分别为R、l。木架横梁中心固定重量为的重物后受扰失稳，系统平衡时立柱AC、BD的附加倾角（即倾角改变量）分别为。求C，D支点受力竖直分量的大小，结果用G、R、l、表示。
（4）对于图3d中的木架，若该卯榫结构的弯曲变形刚度系数为木架横梁中心固定重物后受扰失稳，立柱AC右倾附加倾角达到最大值时，立柱BD的附加倾角、横梁与水平方向的夹角相应地分别为。求重物重量。
四、（40分）如图4所示，半径为、质量均为的均匀实心球体A、B、C两两相切地放置在光滑水平面上。三个球体的外侧有一光滑固定圆筒，其内表面与A、B、C外切。初始时刻，A、B、C静止，一绕圆筒竖直中心轴转动的均匀球体D轻放于球体A、B、C正上方。已知D的质量也为、半径也为，D的初始角速度大小为，D与A、B、C之间的动摩擦因数为，A、B、C三个球体之间无摩擦。经历一段时间后，整个体系达到D相对于A、B、C没有滑动的稳定状态。重力加速度大小为。求： 图4
（1）体系从初始状态到达稳定状态所需时间，以及稳定状态时，球体A、D的角速度大小。
（2）达到稳定状态时，A、C两球切点的相对速度大小与A球质心速度大小之比。
五、（40分）微机电系统(MEMS)加速度传感器在汽车电子、机器人、工业自动化、卫星导航等领域获得了广泛的应用。电容式加速度计是一种MEMS加速度传感器，由固定的金属电极和可动的金属薄板电极组成可变电容器。当传感器加速运动时，可动薄板电极相对固定电极位置发生了变化，因此电极之间的电容也发生变化。利用接口电路测量电容变化量可以得到加速度的大小。
（1）一种常见的梳齿状差分电容式加速度传感器如图5a所示，在绝缘底座上固定两个金属电极板，可动电极安装在绝缘的敏感质量块上，与左右两个极板形成两个平板电容，分别为和。当传感器垂直于薄板平面方向加速运动时，敏感质量块平行于此方向发生平移（极板之间保持平行）。已知可动电极与两侧金属板的初始距离均为，极板的正对面积为一个边长为a的正方形，真空介电常数为，忽略极板边缘效应及底座的影响。当可动极板与左侧金属板的距离减少了时，求差分电容的表达式。
图5a 图5b
（2）另一种摆式差分电容式加速度传感器如图5b所示，在绝缘底座上固定两个金属电极板，可动电极通过一个转轴连接到底座上，与左右两个极板形成两个平板电容，分别为和。在系统静止或匀速直线运动时，可动电极与固定电极相平行；当传感器垂直于薄板平面方向加速运动时，可动电极绕转轴偏转一个小角度，可动电极与左右两个极板之间不再平行。已知转轴与两固定电极的距离均为d，薄板电极是边长为a的正方形，真空介电常数，偏转角，忽略极板边缘效应及底座的影响。求差分电容的表达式。
（3）差分电容式加速度传感器的接口电路常采用二极管双“丁”字型电桥结构如图5c所示。由二极管、，电容、，电阻、，负载电阻，以及周期性方波信号源组成。假设、均为理想二极管，方波信号源u的内阻为0，电压幅值为+U和-U，周期T远大于电容充放电的时间常数。如图5d所示，在时刻，方波输出转变为+U。求时间内负载电阻上的电压表达式。
图5c 图5d
六、（40分）一个深为的足够大的池内装满液体，液体温度与深度的关系为，，为正整数。液体密度为。一个薄正圆柱形圆桶质量为，截面积为，桶壁光滑绝热。圆桶中有一质量为的良导热薄活塞。活塞和桶底之间密封一定量气体，圆桶倒扣在池内，如图6所示。初始时刻，圆桶悬浮在液体池内某处，气体温度为，体积为，气体体积远小于圆桶容积。重力加速度大小为，大气压强恒定为。容器内气体可视为理想气体，圆桶薄壁和薄活塞的厚度均可以忽略，。
（1）若，证明悬浮圆桶处于不稳定平衡。
（2）若初始时刻悬浮圆桶处于稳定平衡，求满足条件的和。
（3）若，求圆桶悬浮并且处于稳定平衡时活塞在液体中的深度。 图6
七、（40分）1908年盖革设计制成了一台粒子电离计数器。带电粒子穿过气体能产生电离，电离计数器是一种气体探测器，它能测量电离过程中产生的电荷量。如图7所示，某电离室可以简化为放置在充以氩气的气密容器内的平行板电容器，电容器两电极之间施加电压以产生均匀电场，忽略边缘效应。带电粒子穿过电离室时会损失能量将氩原子电离，使氩原子电离的平均能量是，产生的电子和氩离子在电场作用下发生漂移，分别被阳极和阴极收集，引出相应的电信号即可实现对带电粒子的测量。电离室等效电容，电极间距。电压时，电子沿电场方向的漂移速度，氩离子的漂移速度，电子电量大小。能量为的粒子平行于电极板入射到电离室后损失全部能量，忽略其在电场中的偏转，其入射位置与阳极的距离。假定电离电荷全部被电极收集，读出信号是电阻上的电压。
图7
(1) 若电阻。求粒子入射后，电阻上电压随时间的变化。
(2) 若电阻。求粒子入射后，电阻上电压随时间的变化。
(3) 电离计数器对入射粒子计数时，读出信号幅度超过阈值再降到阈值以下的过程视为有一个粒子穿过了探测器。如果这一过程持续时间（过阈时间）过长，入射粒子频率过高时会发生漏计情况。通过减小电阻，可以有效降低信号过阈时间，提高计数准确率。将电阻更换为，信号幅度阈值设为。求电阻上读出信号的过阈时间（计算精度取2位有效数字），并判断能否满足的计数率要求？
（40分）1925年乌伦贝克与古德斯米特提出电子自旋假设，即电子具有内禀角动量，角动量大小为，在测量方向上的分量只可能为。比如电子在匀强稳恒磁场中，磁场方向为测量方向，尽管自旋角动量大小是，在磁感应强度方向上的分量只可能为，而不可能是其它值。电子有自旋磁矩，磁矩大小与角动量大小之比称为旋磁比，自旋角动量的旋磁比是轨道角动量的两倍。在氢原子中，原子核相对电子的轨道运动会在电子处形成磁场，该磁场会影响电子自旋的运动。设电子质量为m，电子电量大小为e，真空介电常数为，普朗克常数为h，记为，光速为c，电子的轨道运动满足玻尔氢原子模型，对于氢原子n=2的态：
（1）在相对电子静止的参考系中，求电子所在位置的磁感应强度大小；
（2）在相对原子核静止的参考系中，证明电子自旋磁矩随电子的运动发生进动，并求自旋磁矩的进动角速度大小；
（3）在相对原子核静止的参考系中，若电子的运动速度与光速之比的三次方是可忽略的小量，求电子所在位置的磁感应强度大小。(基于玻尔原子模型所解得的结果与实验有所偏差)
第39届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
（2022年10月6日上午9:00-12:00）
一、
（1）设从初始时经过时间，线圈平面法向与磁场夹角为, 则有
①
线圈总切割磁力线的面积为
②
设此时电动势为，则由电动机瞬时电动势公式得
③
联立①-③，得线圈两端电压随时间变化为
④
（2）此时的发动机电动势为
⑤
设此时汽车受到的阻力为, 则由能量守恒和功率公式有
⑥
设加速度大小为, 另由牛顿第二定律有
⑦
联立②, ⑤, ⑦得，
⑧
(3) 设线圈转动一圈的总耗能为, 由正余弦交变电流的做功公式得
⑨
设初始时运动速度为，由能量守恒公式得
⑩
联立⑨,⑩得

(3) 设线圈转动第圈的总耗能为, 由正余弦交变电流的做功公式得

设初始时运动速度为，由能量守恒公式得

考虑到等比数列求和公式

联立②, , , 得

评分标准：本题40分。
第（1）问11分：①式2分，②③④式各3分；
第（2）问11分，⑤式2分，⑥⑦⑧式各3分；
第（3）问9分，⑨⑩ 式各3分；
第（4）问9分， 式各2分， 式3分。
二、
(1)
在图中标记各量如下, 偏折角为,偏折前的光线与三者连线夹角为,光线离近邻白矮星中心的最近距离近似为 (因为根据题目给出的条件, 非常小)。另设背景天体到望远镜的距离为,近邻白矮星到望远镜的距离为,背景天体到近邻白矮星的距离为。
由几何关系和题目给出的公式,
①
因题目中给出的各个角度都是小角,
②
③
将和代入可得
④
解得
⑤
爱因斯坦环相对于观察者的角半径
⑥
近邻白矮星的质量
⑦
根据题目给出的条件,,上式简化为
⑧
将各量代入可得
⑨
估算出该近邻白矮星质量为。
(2)
作出入射光线在透镜前表面的法线,入射角为,折射角为,根据折射定律
⑩
作出光线在透镜后表面的法线，根据折射定律

因是小角，所以也是小角

将 代入⑩

分离变量,求积分

透镜后表面表达式为

(3)
在处和处经梯度折射率材料出射后光线偏折角度非常接近（可以任意小），近似看作平行光，由光程相等列出

评分标准：本题40分。
第（1）问13分，①式2分，②③式各1分，⑤⑥⑦式各2分，⑧式1分，⑨式2分。
第（2）问16分，⑩ 式各2分， 式各1分， 式各3分， 式各2分。
第（3）问11分， 式4分， 式3分， 式各2分。
三、
由卯榫的弯矩，可得单个卯榫的附加应变能：
①
木架失稳后的附加应变能为： ②
重物重力势能的改变： ③
重力势能转化为卯榫应变能， ④
且立柱最大附加转角为，由②③④得：
⑤
木架-重物简化为一保守系统，故机械能守恒：
⑥
⑥式对时间求导得：
⑦
考虑到角度很小，有：
⑧
当满足：或 ⑨
系统可做简谐振动，角频率为：
⑩
如上图，以初始横梁中心O为原点，水平、竖直方向分别为x、y轴方向，建立直角坐标系，木架受重物作用立柱AC、BD的附加转角（倾角改变量）分别为，则A’、B’点的坐标分别为：
，

由 得横梁中心O’坐标为：

横梁于水平方向夹角满足：

由 , 以D为转轴根据力矩平衡可得：
a
可得C点受力竖直分量：
b
（注： ）。
由系统竖直方向力平衡: G a
b、 a联合可得D点受力竖直分量（也可C为转轴根据力矩平衡可得）：
b
b、 b式中cos由 给出。
由 重物重力势能的改变：

（注：
）
由于失稳后横梁倾角为，则木架两个卯榫的弯角分别为：

由① 卯榫的附加应变能为：

木架失稳时立柱AC、BD的附加转角分别为，由④ 可得重物重量为:
。
评分参考：本题40分。
第（1）问10分，①②③④⑤每式各2分；
第（2）问10分，⑥⑦⑧⑨⑩每式各2分；
第（3）问10分， 式各1分， 式各2分， 式各3分。
第（4）问10分， 式各2分
四、
（1）、设D球与A、B、C每个球体之间的压力大小为、每个球体的质量为；在初末状态之间的时刻，D的角速度（方向绕竖直轴）大小为，A、B、C球的角速度大小为（由对称性可知A、B、C角速度大小相等），末状态球D，A的角速度大小分别为，。A球质心速度大小为，质心末速度大小为。正四面体顶点和对应底面中心的连线与过此顶点的棱之间夹角记为，由几何关系可知。由对称性可知在整个过程中，球D绕竖直轴转动。
球D在竖直方向受合外力为零：
①
球D绕竖直轴转动方程：
②
球A质心在平行于水平面内的圆周上运动。质心的切向运动方程：
③
球A绕过其质心的轴转动方程（只有D球对其摩擦力产生非零力矩）：
④
到达末状态时，A、B、C球分别与D球无相对滑动，接触点处相对速度为零给出约束条件：
⑤
②，③，④对时间积分得到达到末状态之前任意时刻的角速度、速度：
⑥
⑦
⑧
设整个过程经历的时间为，则有
⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨以及转动惯量得：
⑩

由①⑩以及得到
由⑥⑧⑨ 式解得：

（2）、以下记四个球体的质心分别为A、B、C、D。在整个过程中，过D球质心的竖直轴保持不变。以正三角形ACB的中心O为原点，BO方向为x轴，在ACB平面内过O点平行于AC方向的轴为y轴，竖直向上为z轴（过D点）建立直角坐标系。x、y、z三个方向的单位矢量分别记为。
末状态A球绕质心转动的角速度矢量在AOD平面内且垂直于AD。由几何关系可知A球绕其自身质心的角速度矢量、A球质心绕z轴圆周运动的角速度矢量以及A球质心的位置矢量分别为：

其中，为A、B、C三球球心到O点距离。切点相对于A球质心的位置矢量：

（A球上）切点的速度：

相似地，C球绕其质心的角速度矢量、C球质心绕z轴的角速度以及C球质心的位置矢量分别为：

接触点的速度：

由以上表达式得：

求得相对速度大小为：

由及得到比值为：
评分标准：本题40分。
第（1）问20分， ①②③④式各2分，⑤式3分，⑥⑦⑧式各1分， 式各2分；
第（2）问20分，。 式各2分， 式各1分
五、
（1）初始状态
①
改变距离后
②
差分电容
③
（2）首先推导偏角为两非平行平板电容表达式
考虑两极板延长线交点为O，电场线和电势线关于O点圆周对称，以O点为圆心建立极坐标系。设上极板电势，下极板电势，等势面U与的关系为
④
电场为
⑤
距离O点r处的电荷密度为
⑥
从r到r+dr处的窄条上电荷量
⑦
对极板上电量积分
⑧
非平行平板电容
⑨
即
⑩

（3）在时，u输出方波正半周，导通，截止，等效电路图如下图
时电容的初态

（该初始条件参见负半周时的等效电路，导通，截止）
电源内阻为0，进一步简化
列电路方程

计入初始条件 式
可得关于的方程

令

解得（可用从和的角度求解）

可得

从而

评分标准：本题40分。
第（1）问6分，①②③式各2分；
第（2）问14分，④⑤⑥⑧⑨⑩ 各2分；
第（3）问20分，电容初始条件 式4分， 各2分。
六、
（1）平衡时容器内的气体的温度与导热活塞接触液面的温度相等。气体的温度为，活塞在液体中的深度满足方程
①
因此，平衡时活塞在液体中的深度为
②
根据力平衡，气体在下表面处的压强
③
并且气体在上表面处的压强
④
气体悬浮时，上下压强相等，
⑤
气体悬浮满足阿基米德浮力定律。
当容器位置发生改变，活塞所处深度变为，其中正方向向下。若容器能达到热平衡，气体下表面压强变为
⑥
由于，因此，液体和气体温度不随高度变化。根据玻意耳定律
⑦
气体系统上表面压强变为
⑧
气体系统上下压强差为，正方向向下，满足
⑨
如果容器处于稳定平衡，则容器偏离初始平衡位置后，压强差必须与符号相反。根据上式，由于与符号相同，因此悬浮容器处于不稳平衡。
（2）当活塞处于液体深度处，液体温度为
⑩
气体在下表面的压强为

气体在上表面的压强为

根据气体状态方程

初始时刻，悬浮容器满足阿基米德定律

气体系统上下压强差为

若悬浮容器处于稳定平衡，则压强差必须与任意小的符号相反，因此

且

（3），压强差为

当时，的解满足方程

则为

当或者时，的方向均指向。
当或者时，的方向均指向。
因此，容器悬浮并且处于稳定平衡时活塞的位置为

评分标准：本题40分。
第（1）问16分，②③④⑤⑥⑦⑧⑨各2分
第（2）问12分， 各2分
第（3）问12分， 各2分
七、
（1）电离室的平行板电极的作用如同一个电容器，电容，电阻，将系统作为RC电路考虑时系统的特征时间
①
因此在电子和离子的漂移过程中电容可以相对独立考虑。
设沿着阳极距离处粒子径迹所产生的电子-离子对数目为。它们在电场中的漂移导致电极上产生感应电荷，使电离室电容电压产生一定的变化量，电阻上的电压也是。
当有个电荷从移动到的过程中，电容上存储的能量按照以下方程将减小至：
②
③
这里
④
的粒子在计数器中沉积其全部能量，产生的电子-离子对总数为
⑤
这时即便所有的电子都移动到阳极，对电离室电容两端的电压改变很小，因为
⑥
⑦
由第③式得
⑧
也就是说在时间内，电荷移动带来的电压改变为，这里是电荷的漂移速度，因此电荷漂移等价于电流源。
考虑到电压改变有来自于漂移速度快的电子和速度慢的离子两者的贡献。和分别表示离子和电子的平均漂移速度，和是携带的电荷，则我们有
⑨
⑩
其中分别是氩离子和电子漂移产生的电压变化，对于氩离子的漂移时间有

而对电子的漂移时间有

应当指出，电子和离子对信号的贡献具有相同的符号，因为它们携带的电荷符号相反，且漂移方向亦相反。
由于⑨⑩ ，最终信号读出为

当正离子被阴极收集后，系统按照RC电路运转，电阻上的电压将变为。综上所述，电阻上电压随时间的变化规律为

说明：考虑氩离子漂移带来的电压改变，当时，，但因为，因此氩离子漂移带来的电压改变可以忽略。
（2）受潮后电阻，此时

电子的漂移过程基本不受电阻影响，而氩离子的漂移过程中会有一部分能量通过电阻损失掉，因此电子漂移造成的电压变化仍然是

在电子被阳极搜集以后，因为离子的漂移时间与系统特征时间（）相近，系统可以理解为一个带电流源的电路（在上一问中，流经电流源的电流都流入在电容器，而这里会被电阻分流）。又由于电容电压在附近变化，等效电路为
在离子漂移速度确定为的情况下，参考第⑧式，等效电流源为

根据基尔霍夫定律，有

在离子完全被阴极吸收时，然后上电压按照电路衰减到。综上所述，有

（3）当时

因此当有

因此电子漂移被阳极吸收产生的电压为

而氩离子漂移被阴极吸收产生的电压大小

因此以下的计算中不需要考虑氩离子漂移带来的影响。因此读出信号随之间的变化为

设信号幅度上升超过阈值的时间为，下降越过阈值的时间为，有

也就是

对于过阈时间有

对应的事例间隔为，此时的探测器满足的计数率要求。
评分标准：本题40分
第(1)问16分，其中①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 各1分；
第(2)问11分，其中 各1分， 各2分；
第(3)问13分，其中 各1分。
八、
、根据玻尔氢原子模型有如下方程组
①
方程解得：
②
由毕奥-萨法尔定理，核绕电子圆周运动形成的环形电流在电子处得磁感强度为：
③
积分路径为电子圆轨道，且原子核绕电子
④
联立①③④解得磁感强度大小：
⑤
将n=2及②式代入得：
⑥
、证明：根据玻尔原子模型，电子绕核做圆周运动，可得电子轨道磁矩和轨道角动量的关系为：
⑦
对于轨道角动量随时间的变化与磁矩所受力矩 的关系为：
⑧
根据自旋假设，自旋也是角动量，角动量随时间的变化也满足⑧式，而自旋磁矩则是⑦式的两倍，即，在磁场中会受到力矩的作用为：
⑨
且自旋磁矩随时间的变化为：
⑩
上式可以看出自旋磁矩随时间的变化与磁感强度和磁矩都垂直，根据自旋假设，自旋磁矩和磁场不可能平行，总是保持一个夹角。而磁矩的变化与磁场和磁矩的方向都垂直，所以⑩式表明自旋磁矩做进动，且进动角速度为：

、原子的整体运动可忽略，相对原子核静止的参考系可视为惯性系。基于玻尔模型，电子绕核做匀速圆周运动，且速度大小为v。相对原子核静止且将坐标原点建立在原子核处的参考系为R系；设R系中电子在t时刻处于点，相对t时刻电子静止、且t时刻坐标原点在点的惯性系为系；设R系中电子在t+dt时刻处于点，相对t+dt时刻电子静止、且t+dt时刻坐标原点在点的惯性系为系。三个参考系如图所示。
设dt很小，则dt时间速度变化为：

其中与向心加速度同向且指向O点。设R系中系的速度为；中系的速度为；系中R系的速度为；系中R系的速度为。则根据洛伦兹速度合成公式：

联立 解得：

若R系的x轴与系运动方向的夹角为，则：

同样根据洛伦兹速度合成公式：

联立 式解得：

若系的轴与R系运动方向得夹角为，则：

由 和 式可得到系相对R系有一转角d,由于dt很小，则

考虑dv可以忽略，将上式泰勒级数展开，忽略项，有

则系相对R系转动角速度为：

向心加速度为：

联立② 式得到：

由于其方向与磁矩进动方向相反，则在R系中磁矩进动角速度为

根据 式，R系中电子所受磁感强度大小为

评分标准：本题40分。
第（1）问10分：①④式各1分； ② ③ ⑤ ⑥式各2分；
第（2）问10分： ⑦⑧⑨⑩ 式各2分。
第（3）问20分： 式各1分， 式各2分。

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