湖南省2023届高三一起考大联考(模拟一)文理 数学

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湖南省2023届高三一起考大联考(模拟一)文理 数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$，g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，$\frac{2}{3}$]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；
④若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．
其中所有正确结论的序号为①②④．

分析（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得：b²+c²=3+bc，结合基本不等式可得3≥bc，即可得解．

解答解：（Ⅰ）由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=3+bc，
又∵b²+c²≥2bc，可得3+bc≥2bc，解得：3≥bc，
∴b²+c²=3+bc≤3+3=6，即b²+c²的最大值是6．

点评本题考查正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，基本不等式的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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