走向重点 2023年高考密破考情卷 宁夏(三)3文理 数学

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走向重点 2023年高考密破考情卷 宁夏(三)3文理 数学试卷答案

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2．点A、B、C、D在同一个球的球面上，${A}{B}={B}C=\sqrt{2}$，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为$\frac{2}{3}$，则这个球的表面积为（　　）

分析不等式整理为lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，只需求左式的最小值，构造函数m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，利用导数求出函数的极小值即为函数的最小值．

解答解：f（x）＞g（x）恒成立，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+a²+2x³+3x²-12x+a＞0，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，
令m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，
m’（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+6x²+6x-12=$\frac{（x-1）[6{x}^{2}（x+1）+6x（x+1）+1]}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，m’（x）＜0，m（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，m’（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）≥m（1）=-6，
∴-6＞-a²-a，
∴a＞2或a＜-3，
故答案为a＞2或a＜-3．

点评考查了利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值和恒成立问题的转换．

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