[株洲一模]湖南省株洲市2023届高三年级教学质量统一检测(一)1文理 数学

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[株洲一模]湖南省株洲市2023届高三年级教学质量统一检测(一)1文理 数学试卷答案

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6．（1）已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．
（2）对于正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和．

分析利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数，再根据要取得极值，导函数为0的方程恰有两个不同的解，利用判别式，即可求得结论．

解答解：f（x）=ax³+bx²+x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+1，
∵f（x）=ax³+bx²+x存在极值，
∴f′（x）=3ax²+2bx+1=0恰有两个不同的解，
∴△=4b²-12a＞0，即b²＞3a
设一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个，
其中b²＞3a的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共20个，
则函数f（x）=ax³+bx²+x存在极值的概率为$\frac{20}{36}$=$\frac{5}{9}$．
故选：B．

点评本题考查了古典概型概率的计算方法，导数和极值的关系，属于中档题．

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