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哈三中2022-2023学年度上学期高三学年期末(2023.02)文理 数学试卷答案
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6．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数）．当曲线N与曲线M只有一个公共点时，t的取值范围为$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．
分析（Ⅰ）取AC中点O，连结PO、BO，由已知推导出PO⊥底面ABC，由此能证明AB⊥BC．
（Ⅱ）取BC的中点为M，连结OM，PM，由已知推导出平面POM⊥平面PBC，取PM的中点N，连结ON，NC，则∠ONC即为AC与平面PBC所成的角，由此能求出AC与平面PBC所成的角的大小．
解答证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结PO、BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥底面ABC，
又PA=PB=PC，∴AO=BO=CO，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB⊥BC．
解：（Ⅱ）取BC的中点为M，连结OM，PM，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，AO=$\frac{1}{2}\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，
由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，
又∵PO=OM=$\sqrt{3}$，
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON，NC，
则ON⊥PM，
又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，
∴ON⊥平面PBC，
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角，
$ON=\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}\sqrt{3+3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，OC=$\sqrt{6}$，
∴sin$∠ONC=\frac{ON}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ONC=\frac{π}{6}$．
故AC与平面PBC所成的角为$\frac{π}{6}$．
点评本题考查两直线垂直的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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