2023届培优限时练·名校信息优化卷(二)2文理 数学

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2023届培优限时练·名校信息优化卷(二)2文理 数学试卷答案

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2．若函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则不等式（x-2）f（x）＜0的解集为（　　）

分析方法一：直接赋值求解，先令x=y=0得f（0）=1，再令x=1，y=-1得f（-1）；
方法二：运用奇偶性求解，可先证函数f（x）-1为奇函数，再根据奇函数的性质求解．

解答解：方法一：直接赋值求解
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）-1，解得f（0）=1，
再令x=1，y=-1代入得，f（0）=f（1）+f（-1）-1，
所以，f（-1）=2-f（1）=4；
方法二：运用奇偶性求解
一般地，若f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，则f（x）-1为奇函数．
证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1]+[f（y）-1]，
构造函数，F（x）=f（x）-1，则上式可化为，F（x+y）=F（x）+F（y），
显然，F（x）为R上的奇函数，即y=f（x）-1为R上的奇函数．
因而，F（1）+F（-1）=0，即f（1）-1+f（-1）-1=0，解得f（-1）=4，
故答案为：4．

点评本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数奇偶性的判断和函数值的确定，属于中档题．

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