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西南名师联盟2023届高考实用性联考卷(四)4文理 数学试卷答案
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5．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的长轴端点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点，且△PA1A2面积的最大值为$\sqrt{2}$，则椭圆C的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1 |
分析由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为4：3，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．
解答解：∵A：B=1：2，即B=2A，
∴B＞A，
∴AC＞BC，
∵角平分线CD把三角形面积分成4：3两部分，
∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=3：4，
∴由正弦定理$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{3}{4}$，
整理得：$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{sinA}{2sinAcosA}$=$\frac{3}{4}$，
则cosA=$\frac{2}{3}$．
故选：B．
点评此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
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