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衡水金卷先享题2022-2023学年度上学期高三年级四调考试(湖南专版)文理 数学试卷答案
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15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，又点D关于坐标原点O的对称点为点E，试问点A，B，D，E四点是否共圆？若是，求出该圆的标准方程；若不是，试说明理由．
分析（1）先求出f（x）的表达式，通过讨论a的范围，得到f（x）的最小值的解析式，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性得到：[-2，+∞）⊆[2-a2，+∞），解出即可．
解答解：（1）f（x）=（x+1）2+（2a-2）（x+1）+3-2a=x2+2ax+2┉┉┉（2分）
当-a≤-5即：a≥5时，f（x）min=f（-5）=27-10a=-1，
∴a=2.8，舍去．
当-5＜-a＜5 即-5＜a＜5时，f（x）min=f（a）=-a2+2=-1，
∴a=±$\sqrt{3}$，
当-a≥5即a≤-5时，f（x）min=f（5）=27+10a=-1，
∴a=-2.8，舍去．
综上：a=±$\sqrt{3}$┉┉┉（6分）
（2）g（x）=2x+$\sqrt{x+1}$在[-1，+∞）上单调递增，
∴g（x）∈[-2，+∞）．┉┉┉（8分）
在x∈R时，f（x）∈[2-a2，+∞），
由题意知：[-2，+∞）⊆[2-a2，+∞）．┉┉┉（11分）
∴2-a2≤-2，
∴a≤-2或a≥2．┉┉┉（12分）
点评本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．
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