2023届甘肃省高三考试1月联考(标识▶◀)文理 数学

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2023届甘肃省高三考试1月联考(标识▶◀)文理 数学试卷答案

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13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，x∈R．
（1）证明：f（x）的最小正周期为2π；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

分析（1）当⊙C与直线1相切时，圆心到直线的距离d=r，即可求直线1的方程；
（2）当直线1被⊙C截得的弦长为4时，圆心到直线的距离为$\sqrt{5}$，即可求直线1的方程；
（3）设$\frac{a}{b}$=k，则a=kb，代入⊙C：（x-5）²+y²=9，整理可得（k²+1）b²-10kb+16=0，利用△=（10k）²-64（k²+1）=0，求$\frac{a}{b}$的最大值．

解答解：（1）当⊙C与直线1相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{2}}$=3，
∴b=-5±3$\sqrt{2}$，
∴直线1的方程y=x-5±3$\sqrt{2}$；
（2）当直线1被⊙C截得的弦长为4时，圆心到直线的距离为$\sqrt{5}$，
∴$\frac{|5+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴b=-5±$\sqrt{10}$，
∴直线1的方程y=x-5±3$\sqrt{10}$；
（3）设$\frac{a}{b}$=k，则a=kb，代入⊙C：（x-5）²+y²=9，整理可得（k²+1）b²-10kb+16=0，
∴△=（10k）²-64（k²+1）=0，
∴k=±$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a}{b}$的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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