2023届九师联盟高三新高考摸底联考新教材(1月)文理 数学

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2023届九师联盟高三新高考摸底联考新教材(1月)文理 数学试卷答案

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18．已知三个不等式：（1）x²-2x-3＜0；（2）$\frac{x-2}{x-4}＜0$；（3）x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0（a＞0）．若同时满足（1）（2）的x也满足（3）．求a的取值范围．

分析（1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算，进而可得结论；
（2）通过（1）利用等差数列的求和公式，裂项可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，进而并项相加即得结论．

解答解：（1）当n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+4，
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2n+4，n≥2}\end{array}}\right.$，即a_n=2n+4；
（2）由（1）可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
$\begin{array}{l}∴\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}\end{array}$

点评本题考查数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

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